¿Por qué los campos que interactúan no se pueden descomponer en modos de Fourier como los campos libres?

Por supuesto, puede escribir la transformada de Fourier de 4 dimensiones

$$f(x) = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} e^{i p_{\mu} x^{\mu}} \tilde{f}(p).$$

La forma del Lagrangiano no afecta esta expresión. Sin embargo, la acción que interactúa ya no se puede escribir como una integral de Fourier.

Tomemos una teoría libre por ejemplo:

$$S[\phi] = \int d^4 x \left( \frac{1}{2} \partial_{\mu}\phi \partial^{\mu} \phi - \frac{1}{2} m \phi^2 \right) = \int d^4 p \left( - \frac{1}{2} p^2 \tilde{\phi}(p)^2 - \frac{1}{2} m \tilde{\phi}(p)^2 \right).$$

La acción libre se puede escribir como una integral de momento debido a la unitaridad de la transformada de Fourier ( teorema de Parseval ).

Ahora considere una acción interactiva ($\phi^4$teoría, por ejemplo):

$$S[\phi] = \int d^4 x \left( \frac{1}{2} \partial_{\mu}\phi \partial^{\mu} \phi - \frac{1}{2} m \phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4 \right) =$$ $$\int d^4 p \left( - \frac{1}{2} p^2 \tilde{\phi}(p)^2 - \frac{1}{2} m \tilde{\phi}(p)^2 \right) + V_4,$$

dónde$V_4$ no se puede escribir como la integral del momento. Por lo tanto, la interacción local en el espacio-tiempo no es local en el espacio de momento.

Sin embargo, no es cierto que no se utilice en la interacción QFT. El formalismo de la teoría de la perturbación se basa en las reglas de Feynman del espacio de momento. Es solo que las interacciones no son locales en el espacio de Fourier y solo pueden explicarse perturbando la teoría libre.