¿Por qué las simetrías de una red cúbica simple no incluyen un eje de rotación cuádruple a través de los puntos de la red?

Cuando leo sobre la clasificación de celosías en función de la simetría, para la celosía cúbica simple (o, como la llama Wikipedia , una celosía cúbica primitiva), solo hay tres ejes de simetría rotacional de 4 pliegues, que pasan por cada centro de cara − pero la clasificación no incluye las rotaciones cuádruples con ejes que pasan por los puntos de la red, es decir, tales que las aristas del cubo son ejes de simetría rotacional.

¿Alguien podría explicar por qué no se incluyen estas simetrías?

Creo que estás asumiendo demasiado conocimiento del dominio por parte del lector. Sugeriría agregar más información sobre lo que quiere decir con celosía cúbica simple. ¿Es lo mismo que en Wiki ? ¿Cuál es el grupo de puntos para este sistema? Una vez que sepa esto, debería ser suficiente mirar las clases de conjugación (del grupo tetraédrico , supongo).
Tal como está, usted espera que el lector haga mucho más trabajo del que usted pone en él; esto no es cortés. Agregue más trabajo/información por favor
¿Qué es un “eje de 4 pliegues”?
Oh, lo siento, no escribí más porque ahora solo estoy comenzando a aprender el curso introductorio sobre ciencia de materiales.
Y por lo que aprendí, el eje de 4 pliegues significa que el objeto tiene una simetría rotacional sobre ese eje cuando lo rotamos unos 90 grados (dice que durante la rotación de 360 ​​grados, el objeto llega a la autocoincidencia 4 veces ... luego el eje de 4 pliegues)
La red cúbica simple a la que me refiero es la que está en el sistema de 7 cristales, o en otras palabras, la celda unitaria cúbica primitiva con átomos solo en los puntos de las esquinas.
Cuando leí sobre la clasificación de celosías según la simetría, en la celosía cúbica solo hay 3 4 ejes de pliegue a través de cada centro de cara, así que me preguntaba por qué los bordes del cubo no tienen 4 ejes de pliegue.
Y lo siento si no fui cortés... porque es mi primera vez aquí y el inglés no es tan bueno.
Edite su pregunta en lugar de agregar información en los comentarios, de esa manera es más fácil de leer para las personas .
@ 123 He editado para aclarar el título e incluir la información que proporcionó en los comentarios. Revíselo y siéntase libre de retroceder o editar más (haciendo clic edito yendo al historial de edición (usando edited on...mi firma junto a la suya) y haciendo clic en rollback).
Dicho esto, cuando dices que 'leíste' sobre la clasificación de celosías, ¿ dónde leíste esto? Será más fácil proporcionar una respuesta completa y adecuada si proporciona el contexto completo, es decir, una referencia completa a los textos que estaba leyendo donde vio esta información. (Idealmente, por 'proporcionar', quiero decir: ¡edítelo en la pregunta, por supuesto!)

Respuestas (2)

la red cúbica está definida por los cuatro ejes de rotación de 3 pliegues a lo largo de las diagonales principales del cubo, no por la presencia de los de 4 pliegues. Esta es la razón por la que tiene celosías cúbicas primitivas, centradas en las caras y centradas en el cuerpo (pero no una celosía cúbica centrada en la base como en el sistema ortorrómbico que rompería la simetría de rotación triple).

hay varios grupos espaciales cúbicos donde no está presente una simetría de rotación cuádruple; por ejemplo, el grupo espacial cúbico P23 (n° 195) tiene solo ejes de rotación de 2 y 3 ejes, pero de 4 ejes.

Una red cúbica simple es una red de Bravais, es decir, puede pensarse que se origina del conjunto de traslación (infinita) de un cubo de lado a a lo largo de tres ejes ortogonales paralelos a las aristas del cubo, según la fórmula

R = norte 1 a X ^ + norte 2 a y ^ + norte 3 a z ^ ,                         ( norte 1 , norte 2 , norte 3 ) ∈ Z 3 .
Probablemente sea más útil para las aplicaciones físicas considerar la estructura cristalina formada por una base monoatómica, es decir, la celda cúbica que contiene exactamente un átomo.

Es importante entender que los vectores R representan los desplazamientos de la celda cúbica cualquiera que sea su ubicación y dondequiera que se haya ubicado la base atómica . En particular, el desplazamiento nulo no necesita coincidir con la posición atómica o con un vértice o cualquier otro punto de alta simetría de la celda unitaria cúbica.

Sin embargo, además de la simetría traslacional representada por la red de Bravais, las posiciones atómicas en las estructuras cristalinas también pueden tener otras simetrías. En particular, las simetrías puntuales corresponden a transformaciones espaciales que dejan al menos un punto fijo. En el caso general, también es posible realizar transformaciones de simetría mediante composiciones especiales de traslaciones que no sean de Bravais y simetrías puntuales (ejes oblicuos o planos de deslizamiento).

Por supuesto, las transformaciones puntuales deben ser compatibles con la red de Bravais de las traslaciones. Esta es la razón por la cual algunas de las posibles simetrías rotacionales están ausentes (por ejemplo, solo se permiten ejes de 2, 3, 4 y 6 pliegues en un cristal). Para hacer evidente esta compatibilidad, es útil localizar los átomos en puntos donde la simetría de punto completo es evidente en el caso de una estructura monoatómica. Aún mejor, se puede construir una celda unitaria especial (generalmente no cúbica), la celda Wigner-Seitz (WS) .

En el caso de una estructura cristalina cúbica simple, la celda WS es un cubo igual a la celda unitaria, lo que hace explícito que las simetrías puntuales de esa red son las simetrías del cubo.

Por lo tanto, hay tres ejes de 4 pliegues, y es equivalente a considerar que cada uno de estos ejes pasa por un borde de una celda de la red o el centro de una celda (alineado con los bordes). La razón básica es que solo hay un punto de simetría de ese tipo.

¿Por qué las simetrías de una red cúbica simple no incluyen un eje de rotación cuádruple a través de los puntos de la red?
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