¿Por qué las matemáticas tienen un éxito tan fantástico en la descripción del universo?

La pregunta en sí ya ha sido discutida por las respuestas anteriores, pero creo que comprender la historia y el propósito de las matemáticas y cómo se diferencia de otras ciencias sería de gran ayuda en general:

Como alguien que estudia lógica matemática/metamatemáticas, puedo asegurarle que el propósito de las matemáticas no es describir el universo, y las matemáticas no lo describen, la física sí, la química, la biología, las ciencias naturales en general, pero las matemáticas ciertamente no. 't.

Consideramos que tanto la escritura como las matemáticas (a través del conteo) se crearon alrededor del año 8000 aC como una forma de llevar el rastro de los bienes agrícolas. Hoy en día las matemáticas son una forma de expresar, comprender y compartir ideas complejas en general.

Durante la antigüedad no existían las matemáticas construidas lógicamente (eso no significa que las matemáticas no se construyeron de esa manera, sino que no se construyeron conscientemente de esa manera). Por ejemplo, si alguien argumentara que 1 + 1 no es igual a 2, lo habrían ignorado por ser estúpido y no haber entendido 1+1=2, pero no se le habría dado ninguna prueba de 1+1=2. Cualquier prueba hubiera sido sólo un discurso en lenguaje natural que hubiera convencido a la mayoría. Como consecuencia, la mayor parte del trabajo realizado hasta el Renacimiento no fue mucho más avanzado que lo que se puede hacer con un ábaco y matemáticas con regla y compás .

Alrededor del siglo XVIII/XIX, los matemáticos se dieron cuenta de que tanto las matemáticas como los lenguajes naturales eran demasiado complejos, por lo que proceder de esa manera conducía a errores y malentendidos. Trabajaron en una forma de garantizar que una prueba fuera correcta y que pudieran entenderse correctamente.

En ese momento se crearon las notaciones matemáticas y la lógica (Leibniz y Peano desempeñaron un papel importante en esto y, a pesar de ser difíciles de leer según los estándares actuales, aún recomendaría a todos que lean sus libros/documentos). Las notaciones permiten que las personas entiendan universalmente exactamente de lo que estamos hablando, y la lógica es una herramienta bastante simple que nos permite hacer pruebas adecuadas.

La base de las matemáticas formales son los axiomas: un conjunto de reglas que damos por hecho. Los axiomas no pueden probarse, deben elegirse con mucho cuidado. Mientras ensamblamos, mezclamos los axiomas siguiendo un conjunto de reglas, se garantiza que el resultado sea lógico, sin errores y que toda la prueba sea un pensamiento coherente.

Pero si los axiomas no se eligen correctamente, podemos probar que no tienen sentido. Por ejemplo, si los axiomas utilizados consideran que dos proposiciones opuestas son verdaderas, entonces todo se puede probar de acuerdo con esos axiomas.

En matemáticas, definimos arbitrariamente reglas lo suficientemente básicas como para desarrollarlas de una manera segura (lógica). Pero nada le impide crear un conjunto personalizado de axiomas y construir sobre ellos para crear una descripción del opuesto de nuestro universo.

En física (y otras ciencias naturales/experimentales) elegimos un conjunto de axiomas lo suficientemente básicos como para no permitirnos cometer errores y tratar de definir una ecuación que describa algún fenómeno natural. Luego hacemos experimentos tratando de demostrar que la ecuación que construimos era incorrecta, si fallamos una cantidad tan alta de veces que podemos considerar que la ecuación es lo suficientemente precisa y confiable, la usamos.

Las matemáticas son una herramienta poderosa para describir cosas complejas en general. Pero es solo una forma de describir abstracciones cognitivas en un formato estandarizado.

También las matemáticas tienen un límite. El teorema de incompletitud de Gödel establece que por muy completo y complejo que sea el conjunto de axiomas que elijamos, siempre habrá cosas que no podremos probar a pesar de ser ciertas.

1. Gran parte de las matemáticas no sirven para describir el universo. Miles de teoremas y demostraciones en matemáticas puras son completamente irrelevantes para la ciencia. Hay un famoso brindis de Cambridge (ya sea apócrifo o no): '¡Por las matemáticas puras, y que nunca sea de utilidad para nadie!'

2. No son las matemáticas las que describen el mundo. Son las teorías físicas las que lo hacen, y éstas tienen componentes matemáticos indispensables pero incluyen observación, experimentación, teorización y otros componentes conceptuales que no están relacionados con las matemáticas. Incluso en las teorías científicas más exitosas, las matemáticas son solo un elemento.

3. Sin embargo, es un elemento, y uno necesario. ¿Por qué las matemáticas son tan importantes en la ciencia exitosa? Su capacidad de abstracción juega un papel. Tomemos el ejemplo de alguien que coloca una escalera en ángulo contra una pared. Describir la situación en inglés o en algún otro idioma natural implicará una narración que abarque el color de la madera, la pregunta de por qué alguien la dejó allí, el número de peldaños y cualquier otra cosa que se le ocurra al narrador. Una descripción matemática es más austera; "borra radicalmente los detalles" (Sarukkai). Hay un triángulo formado por la escalera, la pared y el suelo intermedio. Desde la longitud de la pared hasta el punto donde la escalera la toca, y la longitud del terreno entre la pared y la escalera, podemos calcular la longitud de la escalera, el tercer lado del triángulo. Por supuesto, en esta situación del mundo real, las medidas no coincidirán exactamente con las de la Ley de los cosenos aplicada a un triángulo modelo o ideal. Pero serán mucho más precisos que cualquier alternativa y se generalizarán a todos los triángulos.En cierto modo, las matemáticas tienen tanto éxito porque "matematizan" el mundo real; y el mundo real se presta, dentro de ciertos límites, a la 'matematización', a la descripción austera . Pero dentro de esta situación de medición, cualquier cantidad de supuestos empíricos no matemáticos están en funcionamiento en el fondo. Suponemos, por ejemplo, que la regla con la que medimos la pared y el suelo es y permanece recta, que ha sido calibrada correctamente, etc.

4. Esto me lleva a un punto final, implícito en lo que se acaba de decir. Si las matemáticas desempeñan un papel indispensable en la formulación de las leyes naturales, en pocas situaciones, si es que en alguna, sus ecuaciones, incorporadas en las leyes naturales, permiten una descripción precisa o una predicción fuera de las condiciones idealizadas. Esto se debe a que las "condiciones iniciales" a las que se aplican las leyes naturales rara vez están libres de elementos "perturbadores". Si aplicamos una ley que describe la tasa de expansión del gas en un recipiente que no contiene nada más que ese gas, es poco probable que exista tal recipiente. El gas tendrá que ser absolutamente puro y no contaminado por otros ingredientes, y ese no es el mundo real de la práctica científica.

Conclusión

No hay una respuesta indiscutible a su muy buena pregunta. A las referencias que otros han dado, puede agregar:

Sundar Sarukkai, 'Aplicación de las matemáticas: la relación paradójica entre las matemáticas, el lenguaje y la realidad', Economic and Political Weekly, vol. 38, No. 35 (30 de agosto - 5 de septiembre de 2003), págs. 3662-3670.

Simposio: '¿Por qué los cálculos de la lógica y la aritmética son aplicables a la realidad?' G. Ryle, C. Lewy y KR Popper Actas de la Sociedad Aristotélica, Volúmenes Suplementarios vol. 20, Lógica y Realidad (1946), pp. 20-60.

Esto se conoce como el argumento de la indispensabilidad , porque el filósofo de mediados del siglo XX Willard Van Orman Quine lo usó para argumentar (aproximadamente) que las entidades matemáticas eran postulados "indispensables" de la ciencia empírica y, por lo tanto, tenemos evidencia empírica de que las entidades matemáticas existen.

Hay una serie de objeciones a este argumento en §4 de esa entrada de la Enciclopedia de Stanford.

Uno de los argumentos de van Fraassen contra el realismo científico también es aplicable al argumento de la indispensabilidad. Él es el argumento realista:

el argumento positivo a favor del realismo es que es la única filosofía que no convierte el éxito de la ciencia en un milagro. Que los términos en las teorías científicas maduras típicamente se refieren (esta formulación se debe a Richard Boyd), que las teorías aceptadas en una ciencia madura son típicamente aproximadamente verdaderas, que el mismo término puede referirse a lo mismo incluso cuando aparece en diferentes teorías—estos Las declaraciones son vistas por el realista científico no como verdades necesarias sino como parte de la única explicación científica del éxito de la ciencia y, por lo tanto, como parte de cualquier descripción científica adecuada de la ciencia y sus relaciones con sus objetos.

Y la objeción de van Fraassen:

La explicación proporcionada es muy tradicional: adequatio ad rem, la 'adecuación' de la teoría a sus objetos, una especie de reflejo de la estructura de las cosas por la estructura de las ideas, Tomás de Aquino se habría sentido muy a gusto con ella.

Bueno, aceptemos por ahora esta exigencia de una explicación científica del éxito de la ciencia. Resistámonos también a interpretarlo como una mera reafirmación del argumento de la 'coincidencia cósmica' de Smart, y considerémoslo, en cambio, como la pregunta de por qué tenemos teorías científicas exitosas. ¿Será esta explicación realista con aire escolástico una respuesta científicamente aceptable? Me gustaría señalar que la ciencia es un fenómeno biológico, una actividad de un tipo de organismo que facilita su interacción con el medio ambiente. Y esto me hace pensar que se requiere un tipo muy diferente de explicación científica.

Lo mejor que puedo hacer es contrastar dos relatos del ratón que huye de su enemigo, el gato. San Agustín ya se refirió a este fenómeno y dio una explicación intencional: el ratón percibe que el gato es su enemigo, por lo que el ratón corre. Lo que se postula aquí es la "adecuación" del pensamiento del ratón al orden de la naturaleza: la relación de enemistad se refleja correctamente en su mente. Pero el darwinista dice: No preguntes por qué el ratón huye de su enemigo. Las especies que no hicieron frente a sus enemigos naturales ya no existen. Por eso solo hay quienes lo hacen.

Del mismo modo, afirmo que el éxito de las teorías científicas actuales no es un milagro. Ni siquiera es sorprendente para la mente científica (darwinista). Porque cualquier teoría científica nace en una vida de competencia feroz, una jungla roja de dientes y garras. Solo sobreviven las teorías exitosas, las que de hecho se aferraron a las regularidades reales de la naturaleza.

Esto es de The Scientific Image , pp 39-40.

Mientras leo esto, van Fraassen argumenta que no necesitamos explicar el éxito predictivo de las teorías científicas. Los hemos construido para hacer buenas predicciones y, básicamente, si ya no hacen buenas predicciones, las abandonamos y formulamos otras nuevas. No hay nada extraordinario en el fenómeno de que las teorías científicas diseñadas para ser buenas para hacer predicciones empíricas sean realmente buenas para hacer predicciones empíricas. No se sigue nada sobre "la naturaleza de la realidad".

Se puede hacer el mismo argumento en respuesta al argumento de Feynman. Hemos desarrollado e implementado formalismos matemáticos que han sido útiles para la tarea científica en cuestión. Si ya no son útiles, desarrollamos nuevos formalismos. No hay nada extraordinario en el fenómeno de que los formalismos matemáticos diseñados para ser buenos para ciertas tareas sean realmente buenos para hacer esas tareas. No se sigue nada sobre "la naturaleza de la realidad".

Creo que fue el físico Eugene Wigner quien planteó esa pregunta por primera vez en 1960, en un artículo titulado La efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales . Los filósofos todavía están tratando de averiguarlo. A los físicos no podría importarles menos.

Todo lo que necesitamos es que las leyes de la física sean constantes en el espacio y el tiempo, y en su mayoría no demasiado complicadas. Por lo tanto, cualquier evento específico es una función de varias leyes de la física y cómo interactúan. En otras palabras, es un producto lógico de las leyes de la física.

Como es lógico, podemos crear modelos matemáticos de las leyes. Dado que las matemáticas consisten en pasar de las premisas a las conclusiones, las matemáticas le dirán al científico lo que sucede en una situación dada donde interactúan ciertas leyes.

Necesitamos el "principalmente no demasiado complicado" para que este hecho sea realmente útil. No tenemos que usar modelos matemáticos demasiado complejos para resolver la mayoría de las cosas que nos preocupan. Si no pudiéramos resolver las matemáticas de alguna parte del universo, no sería útil. Dado que hay suficientes leyes de la física que son continuas (en el sentido de que pequeños cambios causan pequeñas diferencias) y positivamente lineales en algunos aspectos, podemos obtener resultados útiles con matemáticas bastante sencillas.

El creciente abstrusismo es el resultado de cómo descubrimos las leyes. Descubrimos leyes que son fáciles de expresar matemáticamente desde el principio y, a medida que continúa la investigación, siempre encontramos que hemos encontrado la mayoría de las leyes de una complejidad particular o menos, por lo que la siguiente que encontramos es probablemente más complicada y matemáticamente abstrusa.

Me atrajo aquí de una pregunta matemática similar reciente, para la cual redacté esta respuesta antes de que se cerrara:

Esta es una pregunta engañosa porque no está claro si la respuesta es epistémica, metafísica o una mezcla. Probemos esas dos opciones por separado, cada una simplificada pero con suerte no más allá del punto de utilidad:

Epistemología, es decir, cómo es posible el conocimiento matemático.

La Sección 7 aquí analiza cómo podría entenderse la regularidad en la naturaleza, a la luz de objeciones como las de David Hume a la inducción y formas similares de razonamiento. A menos que tengamos una razón a priori para esperar que tal razonamiento funcione, no puede probarse empíricamente, porque tal argumento se reduciría a "las inferencias sobre lo no observado a partir de lo observado funcionarán en estos casos no observados porque funcionaron en estos casos". casos observados". Pero tal vez tengamos esa razón.

Por ejemplo, siempre que la clase de hipótesis "razonable" con la que comencemos tenga una dimensión VC finita , solo se necesita un conjunto de datos finito (de hecho, sorprendentemente pequeño) para reducir esa clase de una manera probablemente aproximadamente correcta. El teorema exacto a citar aquí depende de la clase de hipótesis que observemos, pero tales clases de hipótesis son una variante matemática de las hipótesis falsables que consideró Popper. En resumen, cualquier punto de partida de la forma "el mundo funciona de acuerdo con estas ecuaciones, estos parámetros finitos que se determinarán empíricamente" cumple automáticamente los criterios para ser empíricamente ajustado al mundo, y posiblemente falsificado, en cuyo caso siempre podemos comenzar sobre.

Los físicos también han explorado por qué una cantidad finita de parámetros es preferible a una cantidad infinita. Al menos un gran problema abierto en física resulta de un número infinito de parámetros que no sabemos cómo hacer finitos.

Metafísica, es decir, por qué la naturaleza del universo sería propicia para la exposición matemática

Te sorprendería cuánto de la física que conocemos se puede deducir de la idea de que, debido a que la realidad es objetiva, ciertos cambios de perspectiva no marcan la diferencia, porque son solo transformaciones de coordenadas. Podemos describir esto en términos de simetrías o leyes de conservación, si lo prefiere .

Además, aunque no puedo encontrar una referencia en este momento, algunos investigadores han probado teoremas de la forma "si estos hechos sobre el mundo que no suenan matemáticos en absoluto son ciertos, hay una forma de asignar números a los eventos en espacio y tiempo que hace verdaderas estas familiares ecuaciones físicas". Esto es más o menos análogo a cómo Tarski replanteó la geometría euclidiana en términos de líneas que se cruzan en puntos y cómo los puntos se ordenan en líneas. Cuando asistí por primera vez a una charla sobre este tema hace una década, la mecánica newtoniana ya se había reducido a "no matemáticas" en una versión más compleja de esta idea, y se estaba trabajando para hacer lo mismo con la relatividad especial y general.

He hablado mucho sobre física hasta ahora. Bien, pero ¿qué pasa con la química, la anatomía o la economía? Bueno, aquí es donde la metafísica es crucial. Digamos que aceptamos, solo por el momento, que las cosas en el mundo están hechas de cosas más pequeñas hasta cierto punto, después de lo cual hemos topado con los "átomos" indivisibles de los antiguos griegos. Si eso es cierto , las matemáticas de las cosas más pequeñas impondrán matemáticas a las siguientes cosas más pequeñas, etc. Por otro lado, argumentos completamente diferentes pueden darnos motivos para el optimismo sobre diferentes suposiciones metafísicas, como fluidos infinitamente divisibles, partículas que emergen de más campos fundamentales, etc.