Interpretación filosófica de la computabilidad de un problema matemático finito

Creo que hay bastantes malentendidos en los términos utilizados.

Hay ciertos matemáticos que no creen que existan números más allá de cierto tamaño. Físicamente, el universo parece tener un número finito de partículas, por lo que existe un límite superior real en el tamaño de los números que podemos escribir en notación decimal . Es posible que ni siquiera podamos expresar el límite superior, pero está ahí. Si ese es el criterio para "conocer un número", entonces ni siquiera Dios puede escribir la respuesta sin primero aumentar el número de partículas en el universo. Pero eso no significa que la respuesta no sea definible., que es un concepto diferente. El primo más grande menor que 2^1000 ciertamente no se puede escribir en decimal, pero lo acabo de definir y todos los matemáticos están de acuerdo en que tal número existe, excepto los ultrafinistas que creen que un número solo existe si se puede escribir dígito por dígito. . La secuencia a la que se vinculó es un ejemplo de este tipo, por lo que la declaración del Dr. Z debe ser una especie de broma a menos que sea un ultrafinitista como Doron Zeilberger.

Dicho esto, hay ciertos enunciados expresados ​​en la Aritmética de Peano (PA) que son independientes del PA en el sentido de que existen diferentes modelos de PA en los que esos enunciados tienen diferente valor de verdad. (Un modelo de PA es un mundo que satisface todos los axiomas de PA). Se podría optar por adoptar la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel (ZF), que es una teoría más sólida en la que solo hay un modelo de PA debido al axioma de inducción. Tenga en cuenta que "teoría" aquí no tiene nada que ver con "teorías" científicas.

El problema es que ZF sigue siendo una teoría de primer orden (que cuantifica solo objetos únicos en su dominio) y, por lo tanto, según el teorema de Godel, la implicación lógica en ZF es equivalente a la demostrabilidad en ZF. Debido a que las declaraciones en ZF se pueden codificar usando los números naturales y los pasos en una prueba se pueden codificar a través de ciertas propiedades teóricas de números elementales como la divisibilidad, y luego se puede codificar la existencia de una prueba, podemos codificar la declaración de la consistencia de ZF en sí. como una declaración única en PA. Pero esa declaración sería independiente, mediante una codificación similar de una oración que pretende significar "Esta declaración es indemostrable". (La autorreferencia está habilitada por la codificación.) Si es demostrable, entonces se contradice. Si su negación es demostrable, entonces es demostrable y así viene la misma contradicción.

Entonces, no hay hipótesis en competencia en matemáticas a diferencia de las ciencias. Cada declaración en su contexto completo es verdadera o falsa o independiente. Uno puede elegir diferentes marcos que pueden cambiar el valor de verdad de una declaración, pero no hay conflicto. Simplemente significa que podemos tener tres marcos A, B, C tales que la afirmación sea verdadera en A, falsa en B e independiente en C. Si eres platónico, puedes decir que como máximo uno de los marcos es correcto .

Tenga en cuenta que no podemos traer a Dios a todo esto sin especificar qué queremos decir exactamente con que él sepa. Es simplemente ridículo suponer que todo el mundo puede ser modelado por ZF, e incluso los números naturales son nociones idealizadas que en realidad no existen en el mundo real. Pero si dices que quieres que Dios te diga si alguna declaración es verdadera o falsa o indecidible en alguna teoría, entonces si Dios sabe todo, entonces ciertamente podría responder eso. Pero si desea el valor numérico exacto sobre el que preguntó, ¿cómo espera que le transmita la respuesta?

Se requeriría que la respuesta esté en un formato determinado, como permitir solo ciertas operaciones, si la respuesta se puede "encontrar" depende del formato. En este tipo de sentido preciso y con las consideraciones anteriores, una vez que selecciona un marco, "Dios" es irrelevante y, por lo general, solo se refiere al valor de verdad en un modelo, lo que correspondería a un oráculo en la teoría de la computabilidad. Por ejemplo, el problema de la detención es indecidible pero, para un platónico que piensa que los números naturales tienen una existencia real, si un programa se detiene tiene una respuesta definitiva, y luego puede definir un oráculo para dar esa respuesta e investigar qué se puede hacer con ese oráculo.

Finalmente, la asintótica no es una conjetura de ningún tipo ni tiene que ver con la experimentación científica y la aproximación. La asintótica es una herramienta matemática que permite derivaciones rigurosas de límites asintóticos en funciones.