¿Por qué las masas conectadas a través de una cuerda tienen la misma aceleración?

Sabemos que la tensión en primavera$2$está determinada por su extensión, que no cambia inmediatamente después de la primavera$1$es cortado. Entonces la tensión en primavera$2$inmediatamente después de la primavera$1$se corta es$Mg$- lo que también significa que la aceleración instantánea de la masa inferior es cero.

Si suponemos que la tensión en la cuerda es$T$entonces la fuerza neta hacia abajo sobre la masa central es$Mg + 2Mg - T$entonces tenemos

$3Mg - T = 2Ma_2$

dónde$a_2$es la aceleración hacia abajo de la masa central. De manera similar, para la masa superior tenemos

$T + Mg = Ma_1$

dónde$a_1$es la aceleración hacia abajo de la masa central.

eliminando$T$de estas dos ecuaciones nos da

$4Mg = Ma_2 + 2Ma_2 \\ \Rightarrow a_1 + 2a_2 = 4g$

Pero si la cuerda estuviera floja, tendríamos$a_1=g$, entonces$a_2=\frac 3 2 g$y entonces$a_2 > a_1$- lo cual es imposible si la cuerda está floja. Entonces podemos suponer que la cuerda no está floja, lo que significa que

$\displaystyle a_1=a_2= \frac 4 3 g$

Tenga en cuenta que la aceleración del centro de masa de las tres masas es la suma ponderada de sus aceleraciones individuales, que es

$\displaystyle \frac 1 {4M} \left( M \frac {4g} 3 + 2M \frac {4g} 3 + M.0 \right) = g$

como esperamos

Antes de cortar el resorte superior, las tensiones en el resorte inferior y la cuerda son$Mg$y$3Mg$respectivamente. Podemos mostrar esto considerando el equilibrio de las dos masas inferiores.

Cuando se trata de considerar las aceleraciones cuando se corta el resorte superior, me pareció instructivo pensar en lo que sucedería si la cuerda fuera en realidad otro resorte. Esto no alteraría las tensiones antes de que se cortara el resorte superior. En el instante en que se cortó, las tensiones no cambiarían, porque el resorte del medio (el que reemplaza a la cuerda) necesitaría contraerse una cantidad finita para cambiar su tensión, y no podría hacerlo sin las dos masas superiores. cambiando su posición relativa, lo que no pueden hacer instantáneamente. Por lo tanto, la aceleración de la masa superior inmediatamente después de cortar el resorte superior sería$4g$y el de la masa media sería cero.

Un enfoque alternativo (para evitar confundirse con la gravedad) es usar el principio de equivalencia de la relatividad y suponer que justo después del corte, todo está en el espacio exterior sin gravedad.

La masa inferior está bajo una fuerza hacia arriba de$mg$debido a la deflexión del resorte y una aceleración$\frac{mg}{m} = g$.

El resorte aplica la misma fuerza a la masa intermedia.

Ahora hay una bifurcación:

1. Si tomamos la cuerda solo como un enlace, sin ninguna propiedad elástica, solo un movimiento de la masa intermedia puede mover la superior. Forman una masa única.$3m$juntos. Entonces, ambos tendrán una aceleración hacia abajo: $$a = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3}$$

Si ahora volvemos al entorno gravitacional, es necesario agregar$g$hacia abajo a ambas aceleraciones.

Masa inferior:$a_b = 0$Masa media y alta:$a_m = a_u = \frac{4g}{3}$

2. Si es una cuerda real, todavía se deforma elásticamente justo después del corte (sin importar qué tan pequeña sea la deformación), y hay una fuerza neta hacia abajo$F = 3mg$en la masa superior, y una aceleración$a_u = \frac{3mg}{m} = 3g$

La masa intermedia tiene una fuerza neta hacia arriba.$3mg - mg = 2mg$y aceleración$a_m = \frac{2mg}{2m} = g$

La masa inferior tiene una fuerza neta hacia arriba.$mg$y y aceleracion$a_b = \frac{mg}{m} = g$

Volviendo al campo gravitatorio, y añadiendo$g$hacia abajo:

$a_u = 4g$
$a_m = 0$
$a_b = 0$

Creo que la única razón para poner el nombre string en lugar de spring es tomarlo solo como una herramienta de conexión, por lo que$(1)$parece la respuesta correcta.