Caída de cadena fijada en un extremo: fuerza en la bisagra

Este problema se ha abordado antes en Physics SE, por ejemplo:

¿Alguien puede explicar esta solución para el movimiento de una cadena que cae?
Energía de la cadena que cae

Se proporciona una solución completa en Falling Chains in American Physics Teacher.

El primer enlace anterior incluye una discusión instructiva y una solución al problema del libro de texto de Marion & Thornton. Es tentador asumir que el lado libre de la cadena está en caída libre, pero esto es incorrecto. En cambio, se debe suponer que la energía se conserva, porque así es como se observa que se comportan las cadenas reales.

Su enfoque es válido. La reacción$R$en la bisagra está relacionada con la aceleración$\ddot y$del centro de masa por la segunda ley de Newton:$Mg-R=M\ddot y$. Lo que no está seguro es cómo encontrar$\ddot y$.

Su cálculo de la posición del CM de toda la cadena es correcto:
$y=\frac{1}{4l}(l^2+2lx-x^2)$.
Derivando dos veces da:
$\ddot y=\frac{1}{2l}((l-x)\ddot x-\dot x^2)$

Expresiones para$\ddot x$y$\dot x^2$se puede encontrar a partir de la conservación de la energía, como sigue:

En cualquier instante solo se mueve el RHS de la cadena. La longitud de este lado es$\frac12(l-x)$y el CM tiene velocidad$\dot x$, por lo que su KE es$\frac14\rho (l-x)\dot x^2$. La KE ganada es igual a la pérdida de PE por la caída de la CM de toda la cadena. El CM está inicialmente en$y=\frac14 l=\frac{1}{4l}l^2$, por lo que la pérdida en PE es
$l\rho g \frac{1}{4l}(l^2+2lx-x^2-l^2)=\frac14 \rho g (2lx-x^2)$.
Por lo tanto
$\dot x^2 = g \frac{2lx-x^2}{l-x}$.
diferenciando :
$\ddot x= \frac{g(2l^2-2lx+x^2)}{2(l-x)^2}$

Sustituto :
$\ddot y=\frac{g(2l^2-6lx+3x^2)}{4l(l-x)}$
$R=M(g-\ddot y)=Mg\frac{2l^2+2lx-3x^2}{4l(l-x)}$.

Sustituyendo$x=\frac14l$da$R=\frac34Mg$. Pero tenga en cuenta que como$x \to l$entonces$R \to \infty$. Esto sucede debido al efecto latigazo .

He tratado de ubicar la posición del centro de masa de la cadena desde la parte superior después de que el extremo B ha caído distancia$x$desde el techo. Luego usé el Principio de Conservación de la Energía para encontrar la velocidad de la parte colgante cuando ha caído la distancia$x$, al igualar el cambio en la energía potencial gravitacional al cambio en la energía cinética.

Esto me parece correcto. Suponiendo que la longitud horizontal del sistema es insignificante, debería ser bastante sencillo. Debe recordar que la masa de la parte móvil también cambia, ya que la parte de la cadena que apunta hacia arriba se vuelve más pequeña.

Esto le da la velocidad del final de la cadena en función de$x$.

Sin embargo, no puedo descifrar la relación entre la fuerza en la bisagra y la velocidad de la parte colgante.

La suma de las fuerzas que actúan sobre cualquier sistema da la aceleración del centro de masa del sistema. Las fuerzas que actúan sobre la cadena son la gravedad y la fuerza en la bisagra. Entonces, la suma de estos te da la aceleración del centro de masa de la cadena.

Así que ahora ya sabes

• la velocidad del extremo de la cuerda,$\frac{d}{dt}x$, como una función de$x$
• la posición del centro de masa (llamémoslo$z$) como una función de$x$
• la fuerza en la bisagra en términos de$\frac{d^2}{dt^2} z$.

Para obtener su respuesta, desea encontrar$\frac{d^2}{dt^2} z$en términos de$x$. Sabes$z$en términos de$x$, y$\frac{d}{dt} x$en términos de$x$. Los dejaré para que averigüen cómo continuar a partir de esto.