¿Por qué la velocidad angular de cualquier punto con respecto a cualquier otro punto de un cuerpo rígido es siempre la misma?

Piense en la rotación como una manifestación de un cambio en la dirección de las coordenadas. Coloque un sistema de coordenadas en cualquier punto de un cuerpo rígido y cambiará de dirección a la misma velocidad , independientemente de la ubicación del punto (incluso en el eje de rotación). Esta es la razón por la cual la velocidad angular se comparte entre todo el cuerpo rígido.

Matemáticamente, la tasa de cambio de una matriz de rotación de 3 × 3$R$es

Para la segunda parte de su pregunta, una rotación general se puede descomponer en tres rotaciones sobre tres ejes predefinidos (como precesión, nutación y giro), o mediante una sola rotación sobre un eje arbitrario. En cualquier caso, la rotación será sobre un solo eje y necesita tres parámetros para especificarlo exactamente. Tres velocidades angulares escalares sobre tres ejes predefinidos, o dos parámetros para el eje de rotación y uno para la magnitud de la velocidad de rotación.

Tenga en cuenta también que el movimiento general de un cuerpo rígido es una rotación alrededor de algún eje en 3D, junto con una traslación paralela a lo largo del mismo eje. La rotación y la traslación definen un tornillo en 3D y, dadas las velocidades lineales y angulares de cualquier punto del cuerpo rígido, se pueden derivar las propiedades del movimiento.

Por ejemplo, dicho cuerpo rígido tiene una velocidad de rotación$\vec{\omega}$y velocidad lineal$\vec{v}_A$en algún punto A con posición$\vec{r}_A$en algún instante. Se definen las siguientes propiedades:

1. La dirección del eje de rotación es $$\vec{e} = \frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}$$
2. La magnitud de la rotación es $$\omega = |\vec{\omega}|$$
3. El punto C en la línea de rotación más cercana al origen es $$\vec{r}_C = \vec{r}_A + \frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_A}{\omega^2}$$
4. El paso de movimiento (relación entre el movimiento lineal y el movimiento angular) es $$h = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{v}_A}{\omega^2}$$
5. La velocidad lineal del punto C es $$\vec{v}_C = h\,\vec{\omega}$$

En resumen, una sola velocidad de rotación y un vector de velocidad lineal en algún punto son suficientes para describir el movimiento instantáneo de un cuerpo rígido tanto geométricamente (línea de rotación en 3D, paso y magnitud) como analíticamente (transformación de la velocidad del cuerpo rígido a cualquier otra). punto).

Creo que cuando un cuerpo rígido gira sobre cualquier punto, el punto de rotación permanece fijo y todos los demás puntos del cuerpo rígido siempre giran sobre ese punto fijo con la misma velocidad angular.

Supongamos un disco que gira alrededor de su centro con una velocidad angular$\omega$y$r$es el radio. Ahora la velocidad angular en el punto A y B debe ser la misma. Si la velocidad no es la misma, entonces habría un movimiento relativo entre los puntos A y B del cuerpo rígido que da lugar a una tensión de corte debido a una tensión tangencial que aparece debido al movimiento relativo entre A y B. Por lo tanto, la forma del rígido el cuerpo sería cambiado.