Estabilidad del cuadrado de masas en cuerdas bajo rotación

Aquí, en la imagen de arriba$M \ge m$. Tenga en cuenta que este es el caso más general. Podemos tener$M = m$y el ángulo$\theta$puede variar en cualquier lugar entre$[0;\cfrac{\pi}{2}]$
(En realidad, el caso más general habría sido tomar 4 masas diferentes, pero nos saldremos del ancho de banda de su problema y sería una discusión sin sentido).

Ahora, suponga que el sistema anterior está en equilibrio, girando alrededor del COM con una velocidad angular$\omega$.
Igualando las fuerzas de tensión a la masa por la aceleración centrípeta:

$$2T \cos\theta = M \omega^2l \cos\theta$$ y $$2T \sin\theta = m \omega^2l \sin\theta$$ Permítanme llamar a estos como eqns $(1)$y $(2)$respectivamente.
Las soluciones a las ecuaciones anteriores darán los posibles estados de equilibrio.

Ahora, solo hay 3 posibles estados de equilibrio:
Caso$I$:

$$\cos\theta \ne 0,\,\sin\theta \ne 0$$ Por lo tanto, podemos cancelar estos términos de sus respectivas ecuaciones.
Así, igualando las Tensiones, obtenemos: $M = m$
Presta atención a este caso. Dice que mientras las masas sean iguales, el sistema estará en equilibrio para cualquier valor de $\theta$. (Esto va en contra de nuestro sentimiento intuitivo. Pero Einstein nos enseñó hace mucho tiempo que no debemos valorar mucho nuestra intuición, ¿no?)

Caso$II$:

$$\cos\theta = 0, \ \sin\theta \ne 0$$ $$\theta = \cfrac{\pi}{2}$$ ecuación $(1)$Está satisfecho. ecuación $(2)$nos da el valor de $T$. $$T = \cfrac{m \omega^2 l}{2}$$ Este es el caso donde las masas más pesadas están en el centro y las masas más ligeras giran alrededor del COM del sistema.

Caso$III$:

$$\cos\theta \ne 0, \ \sin\theta = 0$$ $$\theta = 0$$ ecuación $(2)$Está satisfecho. ecuación $(1)$nos da el valor de $T$. $$T = \cfrac{M \omega^2 l}{2}$$ Este es el caso donde las masas más ligeras están en el centro y las masas más pesadas giran alrededor del COM del sistema.

(Solo una pregunta: ¿Cómo se las arregló para hacer un diagrama tan hermoso?)