¿Por qué la tensión en la polea de una máquina Atwood no es igual a (m1+m2)g(m1+m2)g(m_1 + m_2)g?

El sistema no está en reposo. Si considera que las masas y la polea son un sistema, puede comprender el comportamiento del sistema por el comportamiento de su centro de masa. A menos que las masas sean iguales, el centro de masa del sistema no está en reposo.

Podría ser útil pensarlo de esta manera: dentro de la masa límite del sistema$m_1$se mueve hacia abajo a través de una distancia mientras que la masa$m_2$se mueve hacia arriba la misma distancia. Entonces, el centro de masa se ha movido hacia abajo (o hacia arriba dependiendo de si$m_1 > m_2$).

Entonces, la tensión estaría dada por la ecuación:

Puedes resolver eso más a fondo

$a_{cm} = a(m_2-m_1) /(m_1+m_2)$, donde a es el valor de la aceleración de la masa$m_1$que has mencionado.

Insértalo en la ecuación y encontrarás que:

$T_c=\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}{g}$

Su resultado se mantiene cuando las dos masas son iguales, en ese caso$a=0$y tendrías eso:

$T = m_1 g = m_2 g$.

O:

$2T = 2m_1 g=2m_2g=(m_1+m_2)g$.

En el caso de que las masas no sean las mismas, entonces ambas masas están acelerando, lo que a su vez produce una fuerza menor en el sistema de poleas (y en la abrazadera).

¡Esto se puede verificar fácilmente con su fórmula de la tensión!

$T = \frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2},$

Si tuviera que definir la masa total como:$M=m_1+m_2$, entonces podría expresar$T$como:

$T=\frac{2m_1(M-m_1)g}{M}=\frac{2g}{M}(m_1(M-m_1)).$

Puedes comprobar si trazarías$T$como una función de$m_1$, que alcanza un máximo en$m_1=M/2$, lo que significa que la tensión se vuelve máxima si las dos masas son iguales, la tensión se convierte en:

$T=\frac{Mg}{2}=\frac{(m_1+m_2)g}{2}$,

o como estabas pensando:

$2T=(m_1+m_2)g$

Para completar el gráfico de la tensión en función de la masa.$m_1$en términos de cantidades adimensionales.

En este gráfico se puede ver fácilmente que si$m_1=0 \Rightarrow m_2=M$o$m_1=M \Rightarrow m_2=0$, que no habría tensión ya que una de las dos masas estaría en caída libre. En los casos intermedios habría tensión ya que hay un ''tirón'' en ambos lados de la cuerda, cuanto más masas$m_1$y$m_2$iguales entre sí, menos movimiento hay y más tirón hay en la cuerda.

De hecho, hay un error en su argumento. En resumen, la tensión en el gancho de la polea solo se requiere para cancelar la fuerza gravitatoria total sobre el sistema cuando todo está en equilibrio y no hay aceleración. Sin embargo, si las masas están desequilibradas, una de ellas caerá y la otra subirá, y no está claro que esto mantenga la fuerza total en el mismo valor que en el caso equilibrado.

De hecho, puedes comprobar que cuando las dos masas son iguales entonces las respuestas coinciden: la tensión correcta en el gancho de la polea es