Diferentes enfoques dan diferentes resultados: ¿problema del engranaje planetario?

tengo tarea:ingrese la descripción de la imagen aquí

"Un sistema de engranajes planetarios con un engranaje fijo 1 (radio r1); el engranaje 2 (radio r2) es móvil". Al principio, el sistema es estacionario. Aplique un par constante M a la barra OA. La barra OA gira alrededor de O y hace que el engranaje 2 se mueva. OA tiene un peso Q, Gear 2 tiene un peso P. Calcula la aceleración angular de la barra OA".

Estoy haciendo esta tarea con dos enfoques y dan diferentes respuestas:

Enfoque 1: método de energía

Sea la velocidad angular de la barra OA ω

Energía cinética de OA bar = 1 2 q gramo ( r 1 + r 2 ) 2 3 ω 2

Energía cinética del engranaje 2 = 1 2 ( 1 2 PAG gramo r 2 2 ) ω 2 2 + 1 2 PAG gramo v A 2

ω 2 = r 1 + r 2 r 2 ω

v A = ( r 1 + r 2 ) ω

Por lo tanto, energía cinética total = 1 2 2 q + 9 PAG 6 gramo ( r 1 + r 2 ) 2 ω 2 = trabajo total = M ϕ

Diferenciar dos lados, dar aceleración angular γ = 6 METRO gramo ( 2 q + 9 PAG ) ( r 1 + r 2 ) 2

Enfoque 2: método del momento angular

Momento angular de OA con respecto al punto O = 1 3 q gramo ( r 1 + r 2 ) 2 ω

Momento angular del engranaje 2 con respecto al punto A = 1 2 PAG gramo r 2 2 ω 2

Momento angular del engranaje 2 con respecto al punto O = Momento angular del engranaje 2 con respecto al punto A + PAG gramo O A v A = 1 2 PAG gramo r 2 2 ω 2 + PAG gramo ω ( r 1 + r 2 ) 2

Por lo tanto, momento angular total del sistema con respecto al punto O = 1 3 q gramo ( r 1 + r 2 ) 2 ω + 1 2 PAG gramo r 2 2 ω ( r 1 + r 2 ) / r 2 + PAG gramo ω ( r 1 + r 2 ) 2

Diferenciar el término anterior nos da: γ ( 1 3 q gramo ( r 1 + r 2 ) 2 + 1 2 PAG gramo r 2 2 ( r 1 + r 2 ) / r 2 + PAG gramo ( r 1 + r 2 ) 2 ) = METRO

Por eso γ = 6 METRO gramo ( 2 q + 9 PAG ) ( r 1 + r 2 ) 2 − 3 PAG r 1 ( r 1 + r 2 )

Los dos resultados son diferentes, ¿qué me estoy perdiendo?

Respuestas (1)

El enfoque 1 es correcto.

No ha considerado todos los pares que actúan sobre el sistema (varilla + engranaje 2) en el enfoque 2.

La fuerza correspondiente al par faltante es responsable de mantener el movimiento de rodadura pura del engranaje 2 (restricción: punto de contacto instantáneamente en reposo) sobre la superficie del engranaje 1 en todo momento. El par que falta no funciona en el sistema, por lo que el enfoque 1 dio la respuesta correcta aunque no se dio cuenta de la presencia de este par. Te dejaré que averigües este par faltante.

¿El par que falta es el par para mantener estacionario el engranaje 1? Sin él, ¿el engranaje 1 se estaría moviendo?
No. El par faltante surge de la fuerza de interacción entre los engranajes 1 y 2: la fuerza es muy similar a la fuerza de fricción que es responsable de imponer la restricción de "antideslizamiento" entre los dos discos. Este par faltante que actúa sobre el engranaje 1 puede ser contrarrestado por el par aplicado por el suelo/pivote para dar un par neto cero: es por eso que el engranaje 1 permanece estacionario. Y este par faltante que actúa sobre el engranaje 2 es responsable de la aceleración angular del engranaje 2 ( ω ˙ 2 ). Para ver esto, escribe d L C METRO d t = τ C METRO considerando que el sistema es el engranaje 2 solo.
(cont.) CM es el centro de masa del engranaje 2: punto A en la figura. Su primer paso debe ser encontrar la fuerza de interacción entre el engranaje 1 y el engranaje 2 que es tangencial a los dos discos. Avísame si no puedes entender/continuar.
Solo puedo expresar la fuerza de interacción entre el engranaje 1 y el engranaje 2 en función de γ . Luego agregue el momento de esta fuerza con respecto a O en el enfoque 2, luego resuelva la ecuación para γ
Sí, es una función de γ desde ω ˙ 2 es una función de γ . ¿El resultado del enfoque 2 ahora coincide con el resultado del enfoque 1?
ω ˙ 2 = d ω 2 d t . En caso de que mi notación no le resulte familiar.
Gracias lo tengo ! el resultado del enfoque 2 ahora coincide con el resultado del enfoque 1.
Diferentes enfoques dan diferentes resultados: ¿problema del engranaje planetario?
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