Dinámica de distancias por pares en el problema de nnn-cuerpo

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Dinámica de distancias por pares en el problema de nnn-cuerpo

amontonar

Considera el $n$ -problema de cuerpo donde estamos interesados en describir la evolución temporal de $n$ masas interactuando a través de un potencial $U$ . Dejar $D$ ser la matriz que contiene todas las distancias por pares entre nuestras masas; es decir

D_{i j} = \sqrt{(X_{i} - X_{j})^{2} + (y_{i} - y_{j})^{2} + (z_{i} - z_{j})^{2}}

$D_{ij} = \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2}$ dónde

x_{i}, y_{i}, z_{i}

$x_i, y_i, z_i$ son las coordenadas cartesianas del

i

$i$ 'th masa. Asumir que

U

$U$ solo depende de

D

$D$ , y no posiciones individuales. [1]

Estoy interesado en encontrar una ecuación diferencial que describa la evolución temporal de $D$ , sin que en él aparezcan posiciones individuales. ¿Podemos formular tal ecuación en mecánica clásica?

[1] Esto es cierto para la Ley de Gravitación de Newton, pero no es necesario que se cumpla para un potencial genérico.

limón

Claro, la ecuación de Euler-Lagrange con

D_{i j}

$D_{ij}$ como sus coordenadas generalizadas.

amontonar

@lemon: De hecho, pensé en esto antes, pero no estaba seguro de cómo funcionaría. Hay dos problemas que no puedo evitar: (1) Las coordenadas generalizadas deben determinar de manera única las posiciones individuales, ¿no? Nuestro

D_{i j}

$D_{ij}$ no tiene esta propiedad. (2) Independientemente del primer problema, cómo expresar la energía cinética en términos de expresiones como

\partial D_{i j} / \partial t

$\partial D_{ij} / \partial t$ no es obvio para mi. Intenté hacer esto, pero rápidamente me encontré con términos como

\partial r_{k} / \partial D_{i j}

$\partial \mathbf{r}_k / \partial D_{ij}$ , que no me dejaba deshacerme de posiciones, por completo.

Respuestas (1)

Dinámica de distancias por pares en el problema de nnn-cuerpo

Claro, la ecuación de Euler-Lagrange con $D_{ij}$ como sus coordenadas generalizadas.
@lemon: De hecho, pensé en esto antes, pero no estaba seguro de cómo funcionaría. Hay dos problemas que no puedo evitar: (1) Las coordenadas generalizadas deben determinar de manera única las posiciones individuales, ¿no? Nuestro $D_{ij}$ no tiene esta propiedad. (2) Independientemente del primer problema, cómo expresar la energía cinética en términos de expresiones como $\partial D_{ij} / \partial t$ no es obvio para mi. Intenté hacer esto, pero rápidamente me encontré con términos como $\partial \mathbf{r}_k / \partial D_{ij}$ , que no me dejaba deshacerme de posiciones, por completo.

Arnold Neumaier · Answer 1

De las ecuaciones $\dot q = p/m$ y $\dot p=V'(q)$ y la definición $Q=D(q)$ se puede derivar por diferenciación $m\dot Q=D'(q)p$ y $\ddot m^2Q=D''(q)pp-mD'(q)V'(q)$ , dónde $m$ es una matriz diagonal de masas. La segunda ecuación produce una EDO para $Q$ si puedes expresar $p$ en términos de $\dot Q$ hasta términos en el espacio nulo de $D''(q)$ (es decir, grados de libertad de traslación y rotación). Esto debería ser posible a partir de la primera ecuación, que está drásticamente indeterminada, por lo que debería tener muchas soluciones.

Para hacerlo, primero intentaría (pero soy demasiado perezoso para hacerlo) el $k$ -caja de partículas para $k=2,3,4$ para ver si existe una buena fórmula. El caso $k=4$ ya debería ser lo suficientemente general como para adivinar la fórmula para general $k$ .

Hola Prof. Neumaier. Me gustaría explorar el enfoque que sugirió y ver a dónde conduce. Podría pedir aclaraciones pronto. Gracias por responder.
@iheap: Me di cuenta de que me había perdido algunos factores de $m$ ; ahora corregido.
Hola Prof. Neumaier! Ha pasado casi un año desde que sugirió una posible forma de resolver esta pregunta. He intentado seguir tu consejo para el $k = 3$ caso, pero sin éxito. ¿Estaría dispuesto a colaborar conmigo en este problema? ¡Gracias!
@iheap: probablemente sea más fácil derivar ecuaciones diferenciales para el $c_{ij}=D_{ij}^2$ . Esto elimina todas las raíces cuadradas y simplifica todos los cálculos. Al final, uno puede convertir las ecuaciones diferenciales en una para las distancias mismas. Si aún no puede manejar esta versión cuadrada, plantee el problema (cuadrado) con sus resultados parciales en physicsoverflow.org , donde (a diferencia de aquí) es posible una discusión sin restricciones, y lo guiaré allí.

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