¿Por qué la relación de dispersión de una cadena lineal de átomos (conectados por resortes) puede escribirse como ω(k)=cs|k|ω(k)=cs|k|\omega(k)=c_s \lvert k\rvert?

Gracias. Eso me daría: $$a \sqrt{\frac{K}{M}} \lvert k\rvert$$ aunque. no veo como $a \sqrt{\frac{K}{M}}$se puede aproximar como $c_s$. $a$es la distancia entre dos átomos en la red, $K$la constante de primavera y $M$la masa.

$$c_s$$ es solo la velocidad del sonido, que conecta (en su relación de dispersión lineal) la frecuencia con el impulso. Entonces, esta es solo la velocidad del sonido por definición.

Para elaborar sobre qué qmd, QuantumMechanics dijo, la velocidad del sonido se define como la "velocidad de fase" $\omega/k$, o la "velocidad de grupo", $d\omega / d k$. Cuando sea $\omega=Ak$para algunos $A$, se puede ver que la velocidad de grupo y la velocidad de fase coinciden y ambas son iguales a $A$.

@LubošMotl Solo para aclarar, la dispersión ocurre cuando la velocidad del grupo difiere de la velocidad de fase, ¿verdad? Entonces, $\omega(k)=ak$solo se mantiene si la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase? en mi ejemplo $\omega$y $\frac{d\omega}{d k}$tienen la misma velocidad hasta donde puedo ver, por lo que no hay dispersión y puedo escribir $\omega=c_sk$. Lo único que no entiendo es cómo puedo simplemente reemplazar $a \sqrt{\frac{K}{M}}$con $c_s$?

Sí, $\omega=Ak$se cumple si y solo si la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase, y esto también es equivalente a no tener dispersión, es decir, ninguna dependencia de ninguna de las velocidades en $k$o equivalentemente en $\omega$. Puedes reemplazar $a\sqrt{K/M}$por $c_s$ej., usando la tecla Supr varias veces (en una PC), o usando una goma en un lápiz, y luego escribiendo $c_s$al lugar que vaciaste, o escribiendo la ecuación una vez más con $c_s$en lugar de la forma anterior del coeficiente. El punto es que son iguales por la definición de $c_s$por lo que se le permite hacer eso.

El problema al que te enfrentas debe ser algo bastante básico, así que permíteme decir de manera preventiva que la oración "son iguales" también se puede escribir matemáticamente como $c_s = a\sqrt{K/M}$, y es por eso que puedes reemplazar uno por el otro, ¿no? Esta identidad puede derivarse de $c_s=\omega / k$, la definición de la velocidad de fase, si se sustituye $\omega = a\sqrt{K/M} k$para $\omega$. ¿Sigue siendo un problema?

@LubošMotl Gracias por la explicación humorística (creo que necesitaba esa bofetada). ;) Tiene sentido ahora. Simplemente no vi cómo $a \sqrt{\frac{K}{M}}$podría ser una velocidad pero el análisis unitario: $$[m]\sqrt{\frac{[kg]}{[kg][s^2]}}=\frac{[m]}{[s]}$$ echa un vistazo Además, con solo mirar la definición de la relación de dispersión $\omega=v_p k$tiene mucho sentido por qué $v_p=c_s$por definición. No sé por qué no pude ver eso antes. ¡Gracias Lubos y gracias QuantumMechanics!

Gran resultado. Las unidades tenían que ser las mismas para el coeficiente que pretendía ser $c_s$o reemplazado con $c_s$, de lo contrario, la ecuación original habría sido dimensionalmente incorrecta. La lección más amplia es que existen varias fórmulas para calcular las velocidades. Por ejemplo, la velocidad de la luz se puede calcular a partir de los coeficientes elementales $\epsilon_0,\mu_0$que aparecen en las leyes de la fuerza eléctrica estática y magnética como $c=1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$. También existen muchos otros ejemplos en los que las cosas dependen de constantes materiales, etc.