Interpretación de las relaciones de dispersión de fonones

Creo que la versión corta es que las relaciones de dispersión solo cuentan una pequeña parte de la historia de un fonón. No dicen nada sobre el movimiento de la onda correspondiente; todo lo que te dicen es cómo se relaciona la frecuencia oscilatoria con el vector de onda.

En cuanto a cómo leer las curvas: las lee como cualquier función. No hay causa y efecto inherentes, así como no hay causa y efecto inherentes para$y = x^2$.$x=2$no causa$y=4$más que$y=4$causas$x=2$. Para los fonones, una fuente oscilatoria con una frecuencia determinada generaría fonones con longitudes de onda específicas, y una excitación con una longitud de onda determinada generaría fonones con frecuencias específicas. La causa depende de lo que hagas, no de una curva.

Comencemos con un sistema más simple: un sólido infinito, isótropo y continuo (por ejemplo, gelatina). Este sistema admite dos tipos de ondas: longitudinales (también conocidas como ondas de presión u ondas p) y transversales (también conocidas como ondas de corte u ondas s). Los dos tipos de ondas tendrán, en general, diferentes velocidades --- digamos$c_l$y$c_t$, respectivamente. La relación de dispersión de los "fonones" en este sistema tendrá entonces dos ramas:$\omega_l = c_l \left|\vec{k}\right|$y$\omega_t = c_t \left|\vec{k}\right|$.

El significado del mundo real es que, en cualquier momento$\vec{k}$, pueden existir tanto ondas longitudinales como transversales. Sin embargo, se verán bastante diferentes (ver más abajo --- tomado de Wikipedia). En este sistema, puede encontrar ondas longitudinales y transversales para adaptarse a cualquier frecuencia.

Cuando trabajas con átomos (o metamateriales), las cosas se vuelven más complicadas, pero el límite de longitud de onda larga de los fonones acústicos converge en ondas elásticas en un sistema continuo. Para responder tu pregunta:

1. Interpreto que esto significa que tienes una sola rama con$\omega_1\left(a\hat{x}\right) = \omega_1\left(b\hat{x}\right)$dónde$a \neq b$. Esto significa que hay dos excitaciones con diferentes longitudes de onda que tienen la misma frecuencia oscilatoria. Si tuviera que visualizar su movimiento, sería fácil distinguirlos porque tendrían diferentes longitudes de onda. (También pueden verse bastante diferentes por otras razones).
2. Interpreto que esto significa que tienes dos ramas con$\omega_1\left(a\hat{x}\right) = \omega_2\left(b\hat{x}\right)$dónde$a \neq b$. Puede lograr esto con el material continuo con el que comenzamos; simplemente elige$c_l a = c_t b$. Todo lo que decimos ahora es que las ondas elásticas longitudinales pueden tener la misma frecuencia que las ondas elásticas transversales. De nuevo, si visualizas el movimiento, verás muy fácilmente que las ondas son diferentes aunque oscilan con la misma frecuencia.