Relación de dispersión con la fuerza de amortiguamiento

Question

Relación de dispersión con la fuerza de amortiguamiento

fonones
Física
dispersión
mecanica de solidos
física-del-estado-sólido

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Consideramos una cadena lineal de átomos conectados por resortes con constante $K$ . Tenemos la fuerza elástica habitual y añadimos la fuerza de amortiguamiento tal que la relación de dispersión es:

ω = 2 \sqrt{\frac{k}{metro}} pecado (\frac{q a}{2}) - \frac{i Γ}{2 metro}

$\omega = 2\sqrt \frac K m \sin \left(\frac {qa} 2\right) - \frac{i\Gamma}{2m}$

No sé si la expresión es correcta, pero para $\Gamma=0$ volvemos a la expresión clásica, así que estaba satisfecho :). Pero ahora el problema es que quiero entender qué pasa si $q=0$ o $q=\frac{\pi}{a}$ y la expresión anterior da como resultado un número complejo, por lo que no veo cuál es el significado físico.

¡Gracias!

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Relación de dispersión con la fuerza de amortiguamiento

Medusa superrápida · Answer 1

Medusa superrápida

La solución general al desplazamiento para este sistema diferencial está dada por

y (t) = y_{0} {mi}^{\pm i (ω t + ϕ)}

$y(t)=y_0e^{\pm i(\omega t+\phi)}$

Y reemplazando su forma de omega nos dice que la parte compleja es solo el decaimiento relacionado con la fuerza de amortiguamiento presente en el sistema si tomamos la relación como negativa en el exponente. De lo contrario fuerzas $\Gamma>0$ si el exponente es positivo.

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Entonces no hay diferencia entre q=

0

$0$ y q=

\frac{π}{a}

$\frac{\pi}{a}$ ya que los hay complejos y con el mismo "tiempo de relax"?

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Por cierto, ¿sabes si esta expresión es correcta porque no encuentro ninguna fuente para compararla en Internet?

Medusa superrápida

¿Cuál es la ecuación diferencial que estás considerando?

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Reduje el problema a los vecinos más cercanos y encontré

m {\ddot{u}}_{n} = K u_{n - 1} + K u_{n + 1} - 2 K u_{n} - Γ {\dot{u}}_{n}

$m\ddot{u}_n = Ku_{n-1} + Ku_{n+1} -2Ku_n -\Gamma\dot{u}_n$ dónde

u_{n}

$u_n$ es el desplazamiento del n-ésimo átomo en mi cadena. con el anstaz

u_{n} = \frac{1}{\sqrt{m}} u (q) e^{i (q . r_{n} - ω t)}

$\mathbf{u}_{n}=\frac{1}{\sqrt{m}} \mathbf{u}(q)e^{i( \mathbf{q}. \mathbf{r}_n -\omega t)}$ . Creo que mi derivación es correcta, pero tal vez deba considerar

- Γ {\dot{u}}_{n - 1}

$-\Gamma\dot{u}_{n-1}$ y

- Γ {\dot{u}}_{n - 1}

$-\Gamma\dot{u}_{n-1}$ . Lo hice y solo encuentro un coseno en la parte imaginaria.

Relación de dispersión con la fuerza de amortiguamiento

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Medusa superrápida

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Medusa superrápida

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