¿Por qué la masa y el momento de inercia son aditivos?

Que la masa sea aditiva es un hecho empírico que utilizamos sin duda alguna al construir nuestros modelos físicos y matemáticos del universo. Podríamos imaginar que si el universo tuviera Leyes de la Naturaleza diferentes, unir dos cuerpos podría aumentar su masa combinada por encima de la suma de sus masas separadas, al igual que unir dos cargas aumenta la fuerza entre ellas.

Una Teoría del Todo última podría "explicar" esta propiedad en términos de algunos conceptos abstractos, pero esto sólo "probará" que esa teoría es consistente con nuestras observaciones.

(He ignorado lo que sucede en la Relatividad especial porque ha usado la etiqueta para Mecánica newtoniana).

La propiedad aditiva del momento de inercia es inherente a su definición:

$$I = \Sigma m_i r_i^2$$ Cualquier número de subconjuntos de partículas podría sumarse por separado y seguiría dando el mismo momento de inercia total.

(Observo que está preguntando sobre momentos sobre el mismo eje "dado". No hay una suma simple si los ejes no son los mismos).

Sí, este hecho está relacionado con la aditividad del momento, porque el momento angular se define como el momento del momento:

$$L=\Sigma m_iv_ir_i=\Sigma (m_i r_i^2)\frac{v_i}{r_i} =I\omega$$
dónde $\frac{v_i}{r_i}$es el mismo para todas las partículas en un cuerpo rígido.

por qué la masa es aditiva; es decir, la cinemática transnacional de algún cuerpo puede determinarse a partir de considerarlo como un solo cuerpo con una masa total igual a la suma de las masas individuales, actuando en un punto que llamamos centro de masa.

El hecho de que puedas considerar una colección de partículas como una partícula grande se deriva de la tercera ley de Newton. Taylor da una buena prueba de esto en su libro Classical Mechanics. Lo reharé aquí:

Digamos que tienes una colección de partículas con posiciones$\{x_i\}$y masas$\{m_i\}$. Cada uno de ellos está siendo afectado por fuerzas externas,$\{F_i\}$. También interactúan entre sí: la fuerza de la j-ésima partícula sobre la i-ésima partícula se etiqueta como$\{F_{ij}\}$. Estas fuerzas se pueden considerar como las fuerzas que mantienen unida nuestra colección; cada partícula podría ser atraída por cualquier otra partícula, por ejemplo. Entonces podemos considerar la aceleración del centro de masa,$X$:

$$\ddot{X}=\frac{1}{M}\sum_i{m_i\ddot{x_i}}$$

Esto se sigue directamente de la definición de centro de masa:$X=\frac 1 M \sum_im_i x_i$, dónde$M$es la masa total. Ahora, podemos usar la segunda ley de Newton para reescribir cada$m_i \ddot{x_i}$como la fuerza total sobre la i-ésima partícula,$F_i+\sum_jF_{ij}$

$$\ddot{X}=\frac{1}{M}\sum_i{F_i+\sum_jF_{ij}}=\frac{1}{M}\sum_i F_i +\frac{1}{M}\sum_{ij}F_{ij}$$

Ahora, de la tercera ley de Newton,$\sum_{ij} F_{ij}=0$. Esto se debe a que para cada término de la suma, digamos$F_{ab}$, hay otro término$F_{ba}$, y la tercera ley de Newton dice$F_{ab}=-F_{ba}$. Por lo tanto, nuestra fórmula se convierte en

$$\ddot{X}=\frac{1}{M}\sum_i F_i$$ o $$M\ddot{X}=F_{total}$$

A partir de esta prueba, puede ver que la razón por la que podemos tratar objetos extensos como si fueran partículas individuales de mayor masa se debe a la tercera ley de Newton, que nos permitió cancelar la suma sobre$F_{ij}$. Intuitivamente, esto sucede porque la tercera ley de Newton dice que ningún objeto, ni siquiera un objeto extenso, puede ejercer una fuerza sobre sí mismo. Por lo tanto, una colección de partículas solo se acelera debido a fuerzas externas.

Si te gustó esta prueba, Taylor tiene una similar para el momento angular que podrías encontrar ilustrativa.

¡Encuentro aún más desconcertante que el momento de inercia de algún objeto compuesto alrededor de un eje dado pueda sumarse al encontrar la suma de los momentos de inercia individuales! Esto es particularmente desconcertante para mí porque el momento de inercia es proporcional a la distancia al cuadrado (¡aunque quizás esto no tenga nada que ver con el problema!)

Esto se sigue directamente de la definición de$I$, como señaló SammyGerbil.