¿Por qué las cargas externas no contribuyen al flujo neto de una superficie gaussiana?

No entiendo muy bien por qué se pueden ignorar las cargas externas al calcular el flujo neto de una superficie gaussiana. Entiendo que ∇ ⋅ mi → de cualquier carga puntual es igual 0 y puedo razonar usando ecuaciones, pero no puedo encontrar una comprensión física intuitiva. La mayoría de los argumentos que he escuchado mencionan que todas las líneas de campo eléctrico que entran en una superficie gaussiana deben salir de ella, por lo que una carga externa no tiene efecto sobre el flujo neto. ¿Pero el flujo no depende también de la magnitud del campo?

Por ejemplo, supongamos que tengo una partícula junto a una esfera gaussiana y observo la línea de campo eléctrico que atraviesa la esfera en su punto más cercano. ¿No sería mayor la magnitud del vector de campo cuando entra en la esfera en comparación con cuando sale porque está más lejos cuando sale? Y por la ecuación del flujo,

∫ mi → ⋅ d A → = ∫ mi porque ⁡ ( θ )   d A

que depende de mi , ¿no tendría esto un efecto en el flujo neto?

No estoy seguro de dónde está mi malentendido sobre el flujo, pero sé que claramente me estoy perdiendo algo enorme. ¿Quizás es que tengo que considerar todas las líneas de campo eléctrico y no solo una? ¿O estoy asumiendo incorrectamente algo sobre la relación entre la magnitud del campo y el flujo a través de la superficie?

Es un resultado puramente matemático. La razón es porque el ángulo sólido infinitesimal que apunta a una superficie cerrada, mirando desde fuera de la superficie, cruza la superficie de tal manera que para cualquier elemento de superficie positivo, existe exactamente un negativo que compensa su efecto.
prácticamente responde la pregunta en la pregunta, a menos que le falte la intuición sobre lo que es una divergencia.

Respuestas (7)

Hay una vista más intuitiva. Cada línea de campo del flujo creado por una carga interna cruza la superficie solo una vez.

Sin embargo, cualquier línea de carga externa no pasará sobre la superficie o la cruzará dos veces.

  • Si la línea no llega a la superficie, no contribuye.
  • Si la línea cruza la superficie, como no hay sumideros dentro de la superficie, la línea también tendrá que salir. La entrada y la salida se cancelan.

Por lo tanto, solo la carga interna contribuye al flujo.

Esta es una buena intuición, aunque solo tenga cuidado porque realmente lo que importa no son las líneas de campo individuales sino la densidad de las líneas de campo a medida que cruzan la superficie. Este argumento intuitivo aparentemente se cumpliría si la ley de Coulomb fuera, digamos, mi → = k q r ^ / r 3 en lugar de 1 / r 2 , pero de hecho la ley de Gauss no se cumple en ese caso.

Si una carga se mantiene cerca de una esfera, la carga no afectará el flujo de la esfera porque el flujo depende de la magnitud del campo eléctrico y el área por la que pasa. Entonces, cuando el campo ingresa al extremo cercano de la esfera, la magnitud del campo eléctrico es alta y el paso de la superficie es bajo, pero cuando el campo sale, la magnitud del campo eléctrico es baja pero el área por la que pasa es alta. Por lo tanto, compensa y no afecta el flujo de la esfera.

Como @AHB ya ha dicho, es solo un resultado matemático puro. A diferencia de los campos, el flujo no es en sí mismo un fenómeno físico. El porque ⁡ ( θ ) es el coseno del ángulo entre el campo en ese punto y el elemento del área d A . Entonces, si es un campo uniforme, también es cierto para los no uniformes, considerar superficies gaussianas con campos uniformes facilita los cálculos, por ejemplo, una esfera en un campo uniforme de izquierda a derecha, el θ será menor que 90 ∘ a la derecha y la θ en el lado izquierdo será mayor que 90 ∘ y entre 180 ∘ . Entonces, la ecuación de flujo para el flujo neto se convertirá en

mi ∫ porque ⁡ ( θ ) d A − mi ∫ porque ⁡ ( θ ) d A   =   0
desde porque ⁡ ( θ ) es negativo en 90 ∘ ≤ θ ≤ 180 ∘ .

Suponga que encierra una carga positiva con una superficie gaussiana, luego coloca otra carga positiva cerca pero fuera de la superficie. Las líneas de campo podrían verse así:

Recuerda, eliges tu superficie gaussiana porque quieres encontrar la carga dentro de ella. Puede elegir una superficie arbitrariamente cerca de una de las cargas positivas, y hasta que sea lo suficientemente grande como para encerrar realmente a la segunda carga, las líneas de campo que pasan a través de la superficie se cancelarán. Dado que la magnitud del campo eléctrico debido a la carga dentro de la superficie depende solo de la carga encerrada ( mi = k q r 2 ), no habrá aumento en la magnitud del campo que sale de la superficie al colocar más cargas afuera, y por lo tanto el flujo permanecerá igual.

Han pasado más de tres años, pero aquí hay un razonamiento basado completamente en su pregunta (para alguien que vino recientemente con la misma duda).

Cuando considera las líneas de campo eléctrico, es importante tener en cuenta que lo que representa la fuerza del campo eléctrico no es la longitud de las líneas de campo eléctrico, sino qué tan juntas están juntas.

Entonces, el no. de líneas que pasan a través de la superficie es la medida del flujo (no el número absoluto ya que se pueden dibujar infinitas líneas). Dado que no importa cuántas líneas dibuje, cada línea que ingresa debe salir de la superficie, el flujo debe ser cero.

Si el campo es constante (como para una lámina infinita de carga), el área por la que entra el campo será la misma que el área por la que sale.

Si el campo varía con r (carga puntual, por ejemplo), el área por la que el campo sale de la superficie será mayor que por la que entra, de modo que el flujo neto será cero (entrada = campo alto * área baja y salida = campo bajo * área grande)

ingrese la descripción de la imagen aquí

Aunque la magnitud del campo eléctrico es mayor en el punto de carga más cercano, el flujo es el valor total de EdAcos(theta) que es igual en todas partes.

Hola, utilice MathJax para escribir sus ecuaciones. ¡Gracias!

Se pueden usar varios métodos para deducir que el flujo debido a una carga externa es cero, pero el enfoque del prof. HC Verma sería más fácil.

El flujo del campo eléctrico debido a una carga q , a través de una pequeña área d S es

d ϕ = k q . d S r 2 = k q d S porque ⁡ α r 2 = k q d Ω r 2
donde a es el ángulo entre el vector de superficie normal y el campo eléctrico y d Ω es el ángulo sólido infinitesimalmente pequeño subtendido en el punto externo.

Si hacemos la integral de área sobre la superficie cerrada total, obtenemos que el ángulo sólido total subtendido en el punto externo es cero. Por eso ϕ = 0 . (Me refiero a este sitio para la explicación de por qué el ángulo sólido se convierte en cero).

En su derivación, no está claro por qué el porque ⁡ α debe aparecer el término. Sería más claro definir el flujo infinitesimal como el producto escalar del campo eléctrico (que es un campo vectorial) y el elemento de superficie (que también es un vector).
dScosa no es más que la componente de la pequeña área dS perpendicular al campo eléctrico y k es, como siempre, la constante de Coulomb.
No sé si se permitiría dibujar a mano... en ese caso intentaré adjuntar un diagrama de ese mismo libro.
A partir de la geometría simple se puede demostrar que el ángulo entre el ds y la componente perpendicular con respecto al campo es igual al ángulo entre el vector normal y el vector de campo.
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