Geometría euclidiana en marco no inercial

Lo que está mal es la idea de que en realidad se puede hacer que el disco gire; y permanecerá perfectamente rígido.

En realidad, lo que muestra este argumento correcto es que la relatividad no admite la existencia de ningún cuerpo perfectamente rígido . Este es un material de libro de texto perfectamente básico, asentado e indiscutible que todo físico maduro conoce. La primera oración de este párrafo contiene un enlace al sitio web de Gravity Probe B. El experimento mental se conoce como la paradoja de Ehrenfest y el propio Ehrenfest ya ofreció la respuesta básica correcta (no existen objetos rígidos en la relatividad) cuando describió el experimento mental en 1909.

Cuando uno toma un disco sólido y lo hace girar, hará todo tipo de cosas como resultado de la "imperfección del material". Se desgarrará por la fuerza centrífuga, y si no lo hace, se desgarrará básicamente a lo largo de líneas radiales o se doblará (el disco ya no será plano) porque la circunferencia realmente se encoge por el factor de Lorentz. Si existiera un material que es perfectamente rígido y no puede estirarse, doblarse o rasgarse, entonces sería imposible hacerlo girar. En cualquier mundo gobernado por la relatividad, las distancias adecuadas entre los puntos/átomos individuales de los objetos simplemente tienen que cambiar cuando el objeto se pone en movimiento. (La definición de rigidez usando las distancias apropiadas constantes entre puntos/átomos del objeto fue dada por Max Born en 1909 y se conoce como la rigidez de Born).

Sin embargo, la inexistencia de dicho material puede demostrarse incluso microscópicamente. No es posible "ordenar" cualquier objeto sólido para mantener las distancias adecuadas en cada momento porque la distancia entre dos átomos (o puntos en el objeto sólido) solo se puede medir con un retraso.$\Delta t = \Delta x / c$simplemente porque ninguna información puede moverse más rápido que la luz. Es por eso que siempre es posible apretar cualquier varilla en un extremo y el extremo opuesto de la varilla no se moverá al menos por esto.$\Delta t = \Delta x / c$. Esta relación entre la "velocidad limitada de las señales por$c$" y la "no existencia de objetos rígidos en la relatividad" ya fue señalado por Max von Laue en 1911.

De hecho, el retraso será mucho mayor que eso, dictado básicamente por la velocidad del sonido, no por la velocidad de la luz. Cualquiera que sea el material que tenga, la relatividad garantiza que se puede apretar, estirar y doblar.

No, no viola las reglas de la geometría, viola las reglas de la geometría euclidiana . Conclusión simple: para un observador fijado a un disco que gira uniformemente en relación con un marco inercial, la geometría espacial no es euclidiana; en particular, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro depende tanto del diámetro del círculo como de la posición central. Ya no existe una simple noción de$\pi$para tal observador. La geometría es aproximadamente la del plano hiperbólico, como afirma Kaluza (quien hizo la afirmación sin fundamento de que era exactamente la del plano hiperbólico). En resumen, no hay nada de malo en tu razonamiento: es perfecto.

Este es en realidad el experimento mental de la famosa paradoja de Ehrenfest y lo discuto más en mi respuesta aquí .

Como en la Respuesta de Lubos , es imposible que el disco permanezca rígido a medida que su velocidad angular aumenta desde cero hasta su estado estacionario. Un cuerpo rígido (en el sentido de algo que se mueve por isometrías euclidianas) es un concepto totalmente incompatible con la relatividad especial o general porque no podemos acelerar un cuerpo rígido de extensión distinta de cero: si lo empujamos en un extremo, el otro extremo una distancia$L$lejos no puede comenzar a moverse hasta al menos un tiempo$L/c$más tarde sin violar la relatividad especial. El disco debe terminar en un estado tenso en su estado estable para ajustarse a la geometría que se le exige (como razoné en mi otra respuesta ), de lo contrario, se romperá o deformará.

En tales problemas, en estado estacionario ( por ejemplo, velocidad angular constante para el disco), una noción más débil y generalizada de Born Rigidity reemplaza la noción de un cuerpo rígido que puede sufrir isometrías euclidianas.

Por razones similares, tenga en cuenta que la coordenada radial$r$en la Métrica de Schwarzschild marca la posición radial donde un círculo centrado en el origen tiene una circunferencia de$2\,\pi\,r$. Esto es por definición y es diferente de la noción de radio que uno obtendría al tomar un punto de referencia en algún "radio"$R_0$(según lo medido por el Schwarzscild$r$coordenada) y midiendo una distancia radial$\Delta r$(según sus instrumentos de medición locales): la diferencia entre las circunferencias de los círculos concéntricos que pasan por los dos puntos no sería$2\,\pi\,\Delta r$- los "radios" no se suman ni restan linealmente y se mantienen relacionados con la circunferencia correspondiente por la constante$2\,\pi$. el schwarzschild$r$coordenada del punto al que llegas comenzando en$R_0$y radialmente caminando una distancia$\Delta R$es diferente de$R_0+\Delta R$. Nuevamente, no existe una noción simple de relación entre circunferencia y diámetro: la relación depende del radio del círculo y la posición central.

Esto es solo relatividad de simultaneidad nuevamente. Algo similar sucede si tienes un montón de naves espaciales en una línea que disparan sus propulsores en un momento fijo. Diferentes observadores no estarán de acuerdo sobre si dispararon al mismo tiempo y no estarán de acuerdo sobre el espaciamiento. Siempre de forma coherente.

Así que me gustaría abordar el concepto de geometría al no tener un disco. Imagina una gran sección de espacio vacío. Luego coloca un barco en el centro de un anillo de otros barcos. Todo en reposo. Todos sincronizan sus relojes. Todos los barcos son idénticos.

Podrían hacer un anillo de un radio de un año luz. Y podrían estar espaciados por igual cada uno a unos 100 m de distancia. Ahora mismo todo está en calma y nadie está en desacuerdo en nada.

Dado que los relojes están sincronizados, podrían sentarse y esperar unos años para confirmar que todos estaban en posición y luego, según los planes preestablecidos, los barcos en el anillo podrían disparar cohetes para moverse en círculo hasta llegar a una velocidad predeterminada (revoluciones por minuto). segundo) y si cree que no pueden determinar sus revoluciones por segundo, podríamos haber etiquetado las boyas alrededor del círculo para que sepan qué boyas están pasando a medida que pasan. O simplemente pueden seguir el patrón de empuje acordado y puede ser un plan que solo lleva al observador en el centro a decir que van a una velocidad fija.

Cuando alcanzan la velocidad final, cambian a disparar para que vayan en círculo a una velocidad constante (boyas por tiempo adecuado, revoluciones por segundo, o simplemente disparar el propulsor según lo programado para que el observador central diga que está a velocidad constante).

Entonces, originalmente pensaron que estaban igualmente espaciados alrededor del círculo a unos 100 metros de distancia y que dispararon sus propulsores al mismo tiempo al principio. Pero a medida que comienzan a acelerar, los marcos comóviles de las naves en el anillo ya no están de acuerdo en que las naves están haciendo sus movimientos al mismo tiempo. Piensan que el barco que originalmente estaba más lejos, por ejemplo, está ejecutando sus maniobras en cámara lenta, por ejemplo.

El observador central es inercial y tiene cada nave del anillo ejecutando movimientos iguales con cada uno disparando sus cohetes hacia afuera a la misma velocidad y orbitando a la misma velocidad angular.

Las naves anulares no son inerciales. Podrían usar el tiempo de radar y la distancia de radar para no tener cambios discontinuos en la forma en que miden las distancias y los tiempos de eventos separados, y esos se reducen a coordenadas inerciales cuando se mueven inercialmente. O en cada instante podemos considerar el marco de referencia inercial instantáneamente móvil. Pero el punto es que esos marcos para las naves del anillo no observan a las otras naves usando sus cohetes de la misma manera. Están de acuerdo en que el tiempo correcto en los barcos registrado por los barcos a bordo tiene las mismas lecturas cuando los controles de los motores están en la misma configuración. Están de acuerdo en que la experiencia subjetiva de cada barco es la misma que la de ellos (excepto las etiquetas de las boyas si las usa). Pero lo que observan según el marco que se mueve instantáneamente no

Esto no es diferente a los barcos en una línea que aceleran a un ritmo fijo de acuerdo con los relojes a bordo (por ejemplo, disparando un cohete durante el primer minuto, luego dos, luego tres y luego dos, luego solo un cohete y luego ninguno). En la versión en línea se observa que los de atrás aceleran más tarde y los de delante aceleran temprano. Esto no es un cambio en la geometría. Este es cada barco que va en una trayectoria curva y cada uno tiene un marco de inercia comóvil que tiene un plano y una simultaneidad que intersecta las líneas de mundo de los otros barcos en diferentes puntos de su viaje.

No pasa nada raro. Si su marco inercial comóvil observa que las naves vecinas disparan sus cohetes de manera diferente a como usted dispara los suyos, entonces, por supuesto, ese marco calcula que la distancia entre eventos en ese hiperplano de simultaneidad es diferente.

Pero no hay cambio en la geometría. Hay una geometría plana de Minkowski. Las naves anulares no se mueven inercialmente y los marcos inerciales comóviles no observan a las otras naves moviéndose en círculo, aunque el observador central inercial sí lo haga.

Puede hacer la aceleración hasta la velocidad en un impulso gigante y luego hay dos marcos comóviles para ese punto. El cuadro pre impulso y el cuadro post impulso.

Para alguien que se mueve en el borde del disco, el disco se contrae en la dirección de desplazamiento. Entonces, para ellos, no es un círculo, no hay problemas con la geometría.

La geometría euclidiana solo es válida para un plano inercial de simultaneidad. Al final de esta respuesta, debe saber cuándo y cómo usar la geometría euclidiana y qué significa (o no). Y una colección de objetos que juntos parecen un disco que gira uniformemente en un marco no lo parecerá en un marco inercial diferente. Entonces no es un disco en el otro cuadro.

Imagine las líneas de mundo de las partes de un disco giratorio. Dibuja el tiempo como el eje vertical. En el marco del centro, la línea de mundo central es vertical. En el marco del centro las otras partes van en hélices. En el marco del centro es posible hacer que todas las partes vayan en círculo (esto requiere que se apliquen fuerzas a las partes, pero así es como giran los discos reales también).

Ahora, en un marco que se mueve inercialmente, el hiperplano de simultaneidad está inclinado de modo que el origen espacial del marco forma un ángulo igual con el cono de luz de 45 grados que la línea de palabras del observador. Y son los vectores en este plano de simultaneidad donde se sostiene la geometría euclidiana. (La geometría de Minkowksi se mantiene en todas partes, pero se reduce a la geometría euclidiana en un plano de simultaneidad similar al espacio).

En un marco de este tipo que se mueve instantáneamente con alguna parte del disco, el disco es un objeto que se ve en el dibujo como un círculo estirado (llegaremos a la geometría más adelante ahora mismo, quiero que vea de qué eventos estamos hablando). en el espacio-tiempo). La intersección de las líneas de mundo del objeto con el hiperplano de simultaneidad del marco es como un cilindro cortado por un plano que pasa por el centro del cilindro. Solo un plano da una sección transversal circular, que es el marco del centro de rotación.

Ahora sabes dónde se aplica la geometría euclidiana y a qué se aplica. Puedes ver en el diagrama de espacio-tiempo que estos pequeños vectores están todos en algún plano de simultaneidad. Y rastrean diferentes eventos para diferentes planos.

Si en lugar de ir directamente a usar la geometría euclidiana, que solo es válida para eventos en algún hiperplano de simultaneidad para algún marco de inercia, podría hablar sobre la geometría del espacio-tiempo. Esto es siempre para eventos. Por ejemplo, la línea universal de una partícula se compone de eventos para que pueda encontrar el tiempo adecuado de tal curva entre dos eventos. O puede hablar sobre la curva de puntos separados similares al espacio en algún plano de simultaneidad y encontrar su longitud adecuada. Y luego obtienes esa circunferencia euclidiana de la que hablamos. Pero no para un círculo a menos que elija el marco donde es un círculo.

Pero si comparas estas curvas espaciales en un plano de simultaneidad, son claramente eventos diferentes para marcos diferentes, por lo tanto, curvas diferentes, por lo que no hay razón para esperar que tengan la misma circunferencia. Estamos desarrollando la intuición de la geometría de Minkowski correcta para saber cuándo y si podemos usar la geometría euclidiana.

Para diferentes puntos en el borde del disco, obtienes diferentes planos de simultaneidad, cada uno formando un ángulo igual con el cono de luz allí que la línea de mundo con el cono de luz en ese evento. Entonces, cada punto en el borde y cada vez genera un marco comóvil diferente.

Prometí hablar de geometría y preguntaste sobre la contracción de la longitud.

Si tiene una barra en reposo, sus líneas de mundo van directamente hacia arriba, pero para observar en movimiento, los extremos de la barra son la intersección de las líneas de mundo de los extremos con un hiperplano de simultaneidad. El segmento de línea puede parecer más largo en el dibujo. Pero es más corto métricamente. Esto se debe a que cuando decimos que el plano de simultaneidad es euclidiano, significa que hay tres vectores independientes en el plano que tienen una unidad de longitud positiva y abarcan el plano. Para su punto de vista todo es euclidiano. Pero tenemos que saber cuáles son los tres vectores ortogonales unitarios.

Si los vectores unitarios en un plano (digamos, el plano xy) apuntan en dos direcciones, entonces podemos dibujar el tiempo como el eje z. Luego, para un cuadro que se mueve en la dirección x, el vector unitario y sigue siendo un vector espacial unitario, pero ahora un vector que para el primer cuadro parece que apunta hacia el futuro y en la dirección x ahora es un vector espacial (vive en el hiperplano de simultaneidad). Y es un vector que parece más largo en el dibujo original que tiene una unidad de longitud.

Entonces, el punto es que los vectores espaciales que parecen bastante largos en un cuadro pueden tener una unidad de longitud. Los vectores espaciales que tienen una unidad de longitud se pueden escribir con colas en el origen y cabezas en$(\sqrt{x^2+y^2+z^2-1},x,y,z),$que parece un hiperboloide. El punto es que esos vectores que en el dibujo están cerca del cono de luz siguen siendo de longitud unitaria aunque parezcan largos.

En el marco que se mueve con un punto en el borde, la dirección que parece alargada cuando dibujaste todo en el marco del centro en realidad está más cerca. Esto se debe a que esos eventos, si los rastrea a lo largo del hiperboloide de vectores espaciales del mismo tamaño desde el centro del disco, terminan siendo más pequeños que los vectores espaciales que van a los otros puntos y los de mayor tamaño son de tamaño normal, los que no lo hicieron. t cambia a medida que cambias de cuadro.

Entonces, si te mueves en la dirección x, entonces tu disco tiene la misma longitud de extremo a extremo desde$R\hat y$del disco a la$-R\hat y$extremo del disco pero en la otra dirección es más corto. Esto es para el marco que se mueve con ese punto del borde en ese instante.

Pero en ese marco, el objeto que es un disco en un marco no es un disco. Por lo tanto, no espera que una fórmula para un círculo se mantenga en otro marco cuando no la está aplicando a un círculo. Y estás midiendo diferentes eventos de todos modos.

Estoy tentado a dar el punto de vista de un experimentador, aunque por supuesto estoy de acuerdo con las respuestas de Lubos y Savanah.

Considere un disco de radio R, entonces la circunferencia es 2πR. Ahora, haz que este disco gire a una velocidad del orden de c (velocidad de la luz).

Aquí es evidente que está definiendo un sistema de centro de masa para un disco y una persona/maquinaria que le dará una aceleración angular para alcanzar una velocidad cercana a la velocidad de la luz. Por lo tanto, está definiendo implícitamente un cuerpo rígido clásico.

Pero el nivel subyacente de la naturaleza es la mecánica cuántica. En este nivel, cada átomo está unido a otro átomo/molécula a través de fuerzas electromagnéticas que cumplen las ecuaciones de la mecánica cuántica, no las de la mecánica clásica.

Un análogo es como si todos esos átomos/moléculas estuvieran unidos entre sí con resortes que a bajas aceleraciones (la aceleración transfiere fuerzas electromagnéticamente a nivel atómico, por lo tanto, el límite de velocidad de la luz) y a distancias y velocidades clásicas son rígidos y, por lo tanto, tenemos los cuerpos rígidos clásicos, pero cuando las aceleraciones crecen mucho, ningún modelo de cuerpo rígido puede funcionar. Un modelo clásico de un disco con resortes también mostraría deformaciones de su forma.

Por lo tanto, no se puede aplicar la geometría euclidiana a un sistema en el que es incluso difícil definir un centro de masa contra el cual se pueden aplicar transformaciones de relatividad especial. En cada radio se obtienen diferentes fuerzas y no se puede definir un sistema de centro de masa común donde la forma del disco será circular, ya que en cada radio se aplican diferentes fuerzas y la deformación rotacional es inevitable.