¿Por qué la energía potencial es igual a la integral negativa de una fuerza?

Cuando realiza un trabajo conservativo sobre un objeto, el trabajo que realiza es igual al cambio negativo en la energía potencial.$W_c = - \Delta U$. Por ejemplo, si levantas un objeto contra la gravedad de la Tierra, el trabajo será$-mgh$. La gravedad está haciendo trabajo sobre el objeto jalándolo hacia la Tierra, pero como lo estás empujando en la otra dirección, el trabajo que haces sobre la caja (y por lo tanto la fuerza) es negativo. El campo realiza un trabajo negativo cuando aumenta la energía potencial de una partícula.

Matemáticamente, es solo que$F=\frac{dW}{dx}$, lo que significa que si el trabajo es conservativo, entonces$F=\frac{-dU}{dx}$, ya que$W_c = - \Delta U$. Después$-dU = Fdx$, asi que$U = - \int F dx$.

También podemos decir que el trabajo es negativo cuando la fuerza y ​​el desplazamiento tienen direcciones opuestas, ya que$W = \vec F \cdot d\vec x = Fdxcos\phi$. Cuando$\phi=\pi$, después$\cos\phi = -1$. Un ejemplo de esto conceptualmente es la fricción. Un objeto que se desliza por un plano tiene una fricción cinética que actúa sobre él. La fricción es en la dirección (arriba de la rampa) opuesta al movimiento/desplazamiento del objeto. Entonces decimos que la fuerza de fricción está haciendo un trabajo negativo.

Se trata de encontrar o construir cantidades conservadas.

Cuando un objeto está bajo fuerzas, en general, la KE del objeto ya no es una constante. Pero, ¿podemos agregarle algo para que tengamos una cantidad conservada nuevamente?

La gente derivó eso por el teorema Work-KE

$$\Delta KE = \int_{t_i}^{t_f} \textbf{F}_{net} \cdot \textbf{v} dt$$ dónde $$\textbf{F}_{net}=\textbf{F}_1+\textbf{F}_2+\cdots$$ es la fuerza neta que actúa sobre el objeto.

Entonces encontramos que para alguna fuerza

$$\int_{t_i}^{t_f} \textbf{F}_{k} \cdot \textbf{v} dt = \int_{\textbf{r}_i}^{\textbf{r}_f} \textbf{F}_{k} \cdot d\textbf{r}$$ que es independiente de la trayectoria y se llama fuerzas conservativas. Las fuerzas que no cumplen esta propiedad se llaman fuerzas no conservativas.

Así que queremos "mover" estos términos a la LHS y tenemos

$$\Delta KE - \int_{\textbf{r}_i}^{\textbf{r}_f} \sum_{conservative} \textbf{F}_{k} \cdot d\textbf{r} = \int_{t_i}^{t_f} \sum_{nonconservative} \textbf{F}_{k} \cdot \textbf{v} dt$$

Así que tenemos el lado negativo porque los "movimos" al otro lado de la ecuación.

Ahora bien, si definimos

$$PE_k(\textbf{r}_f)-PE_k(\textbf{r}_i)=-\int_{\textbf{r}_i}^{\textbf{r}_f} \textbf{F}^{conservative}_k\cdot d\textbf{r}$$ entonces tenemos $$\Delta KE + PE_1(\textbf{r}_f)-PE_1(\textbf{r}_i) + PE_2(\textbf{r}_f)-PE_2(\textbf{r}_i)+\cdots = \text{Work done by nonconservative forces}$$

Si no hay fuerzas no conservativas, o cuando las fuerzas no conservativas no realizan trabajo, entonces tenemos la conservación de la energía, donde la energía total se define como la suma de KE y PE.

Tenga en cuenta que si está bien aceptar que la energía total es KE - PE, entonces está completamente bien definir PE sin el signo menos.

En cuanto a su última pregunta, puede imaginar que aplica una fuerza que es "ligeramente" más grande que la fuerza conservativa. Entonces el objeto se moverá muy lentamente. Cuando esté cerca de la posición final, reduzca su fuerza para que sea "ligeramente" menor que la fuerza conservativa para que el objeto disminuya la velocidad.

La energía potencial (PE) es la energía cinética (KE) que podrías obtener de una acción si siguiera adelante y ocurriera. La energía que pones en una pelota para moverla 10 pies hacia arriba es la misma cantidad de energía que podrías recuperar si la dejaras regresar a su punto de partida (en condiciones similares).

***Observe las palabras poner y salir . Una de estas acciones se considerará negativa y la otra positiva. No importa cuál, siempre y cuando seas consistente con tus signos.

A partir de este ejemplo, el trabajo realizado sobre la pelota para moverla hacia arriba es la cantidad de energía que se necesitó para subirla. Y por definición, el trabajo es igual a la integral de la fuerza sobre la distancia. -> Si decimos que la energía que le ponemos a la pelota es trabajo positivo, entonces la energía que podemos sacar de la pelota será trabajo negativo.

O, en lugar de decir trabajo negativo, podríamos decir que es el trabajo realizado por una fuerza opuesta a la original. Lo que conduce a la integral de la fuerza negativa.

¡Espero que esto ayude!

editar: ligero ajuste de redacción

La energía potencial se define como el trabajo que tenemos que hacer sobre el sistema para llevarlo a una determinada configuración en reposo desde otra configuración en reposo en la que tiene energía potencial cero, es decir, en la que no actúan fuerzas. Si piensa en términos de esta definición, sabrá qué signo usar y qué significa el signo.

Entonces, si tenemos que empujar contra una fuerza repulsiva, por ejemplo, para acercar una carga eléctrica +ve a otra, entonces la fuerza$F$que suministramos está en la misma dirección que el desplazamiento$dx$. El trabajo que hemos realizado es +ve y la energía potencial del sistema es +ve. Si la fuerza varía con la distancia, entonces tenemos que integrar$F dx$. No hay signo menos aquí. La energía potencial es +ve.

Sin embargo, en el caso de una fuerza de atracción, por ejemplo, entre 2 masas, o entre cargas +ve y -ve, tenemos que empujar en la dirección opuesta al desplazamiento para evitar que los objetos choquen entre sí cuando lo permitamos. acercarse. Ahora el trabajo realizado y la energía potencial son -ve. En lugar de que tengamos que trabajar en el sistema, el sistema ha trabajado en nosotros.