¿Podría la materia oscura implicar la existencia de energía oscura? [cerrado]

Es cierto que este es un ejemplo simple, pero parece verificar. Considere la métrica estándar para la solución de Schwarzschild en coordenadas$(t, r,\theta,\phi)$:

$$g_{oo} = U, \ g_{11} = V, \ g_{22} = r^2, \ g_{33} = r^2\sin^2(\theta)$$

con el tensor de energía que representa una partícula puntual con 0 impulso o tensiones:

$$T^{00} = m_{\text{rel}} \ \text{and} \ T^{\mu\neq 0 \nu\neq 0} = 0$$ .

Si ahora se agrega un término arbitrario de gravedad de materia oscura tal que$g_{00} = U + \Omega_t(r)$y$g_{1} = V + \Omega_r(r)$, pero restringe$T^{00}$para permanecer constante, la ley de conservación del tensor de energía tomará términos cruzados. Aquí$\Omega_r$y$\Omega_t$son estrictamente funciones de$r$y no$t$.

Para empezar, los símbolos de Christoffel son:

$$\Gamma^0_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{U'+\Omega_t'}{2(U+\Omega_t)} & 0 & 0 \\ \frac{U'+\Omega_t'}{2(U+\Omega_t)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$$

$$\Gamma^1_{ik} = \begin{bmatrix} \frac{-(U'+\Omega_t')}{2(V+\Omega_r)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-r}{V+\Omega_r} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-r\sin^2(\theta)}{V+\Omega_r} \end{bmatrix},$$

$$\Gamma^2_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ 0 & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\theta)\cos(\theta) \end{bmatrix},$$

$$\Gamma^3_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{r} \\ 0 & 0 & 0 & \cot(\theta) \\ 0 & \frac{1}{r} & \cot(\theta) & 0 \end{bmatrix},$$

y para fines posteriores:

$$\Gamma^k_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{U'+\Omega_t'}{2(U+\Omega_t)} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{r} & \cot(\theta) & 0 \end{bmatrix}$$

Ahora utilizaremos la siguiente ley de conservación:

$$0 = \nabla_\nu T^{\mu\nu} = \partial_\nu T^{\mu\nu} + \Gamma^\mu_{\sigma\nu} T^{\sigma\nu} + \Gamma^{\nu}_{\sigma\nu} T^{\mu\sigma}.$$

Antes de pasar, restringimos$T^{\mu\nu}$a lo siguiente:

$$T^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} m_\text{rel} & p^r & 0 & 0 \\ p^r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Además, todos los derivados de$T^{\mu\nu}$por una componente angular se toman como cero. Hacerlo da:

$$\partial_i T^{0i} + \Gamma^{0}_{\sigma\nu}T^{\sigma\nu} + \Gamma^\nu_{\sigma\nu} T^{0\sigma} = 0$$

$$\partial_t m_\text{rel} + \partial_r p^r + \frac{U'+\Omega_t'}{2(U+\Omega_t)}p^r + \left( \frac{U'+\Omega_t'}{2(U+\Omega_t)} + \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} + \frac{2}{r} \right)p^r = 0$$

$$\partial_t m_\text{rel} + \partial_r p^r + \left( \frac{U'+\Omega_t'}{U+\Omega_t} + \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} + \frac{2}{r} \right)p^r = 0$$

y

$$\partial_i T^{1i} + \Gamma^{1}_{\sigma\nu}T^{\sigma\nu} + \Gamma^\nu_{\sigma\nu} T^{1\sigma} = 0$$

$$\partial_t p^r - \frac{(U'+\Omega_t')}{2(V+\Omega_r)} m_\text{rel} = 0$$

Desde el$\mu = 1$ecuaciones que obtenemos

$$p^r = \frac{(U'+\Omega_t')}{2(V+\Omega_r)} m_\text{rel} t + C(r),$$

que, independientemente de la manipulación adicional, ya comienza a insinuar algunas propiedades de la materia oscura y la energía. Desde el$\mu = 0$ecuaciones, con la suposición de que$\partial_t m_\text{rel} = 0$, obtenemos la ecuación diferencial:

$$\frac{\partial_r p^r}{p^r} = \left( \frac{U'+\Omega_t'}{U+\Omega_t} + \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} + \frac{2}{r} \right)$$

$$p^r = \exp \left( \int \frac{U'+\Omega_t'}{U+\Omega_t} + \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} + \frac{2}{r} \, dr \right) + C(t)$$

En conjunto, la forma más general de la cantidad de movimiento en función del 'tiempo' y el radio es:

$$p^r = \exp \left( \int \frac{U'+\Omega_t'}{U+\Omega_t} + \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} + \frac{2}{r} \, dr \right) + \frac{(U'+\Omega_t')}{2(V+\Omega_r)} m_\text{rel}t + C$$

Notemos que mientras las funciones$\Omega_t$y$\Omega_r$puede alterar arbitrariamente$U$y$V$para adaptarse a las curvas de materia oscura, si$\frac{U' +\Omega_t'}{2(V+\Omega_r)}$es estrictamente positivo más allá de un cierto radio, el impulso puede aumentar infinitamente.

En última instancia, esto solo muestra que la materia oscura y la energía podrían estar conectadas por un solo conjunto de funciones, en lugar de operar de forma independiente entre sí.

Mirando la fórmula, me preocupa la variación en el momento entre los marcos de referencia que no encaja bien en el principio de equivalencia...

¿Es correcta mi línea de razonamiento? Si es así, ¿es esto preferible a las ideas actuales de DM y DE de alguna manera significativa?

PD Todos odiamos el meollo de los símbolos de Christoffel y las expresiones coordinadas, así que si cometí un error, háganmelo saber: D. También podría muy bien haber cometido otros errores más fundamentales en mi proceso. No estoy realmente en el nivel 'avanzado' para GR.