¿De dónde viene la definición de energía en PDE en física?

Bueno, dada una PDE arbitraria , es posible que no exista un funcional de energía. Pero si existe, la construcción generalmente se ajusta a la siguiente plantilla:

1. Encuentre una densidad lagrangiana${\cal L}$para el PDE. Esto significa que la ecuación de Euler-Lagrange para${\cal L}$debe reproducir la PDE. En el caso de OP, la densidad lagrangiana${\cal L}$es de la forma${\cal L}=\frac{1}{2}\dot{u}^2-{\cal V}(u,\nabla u),$dónde${\cal V}(u,\nabla u)$es la densidad de energía potencial. Aquí$\dot{u}$y$\nabla u$denote las derivadas temporal y espacial, respectivamente.

2. La densidad lagrangiana${\cal L}$típicamente no depende explícitamente de$t$. El teorema de Noether entonces garantiza que existe una cantidad conservada. El componente cero

   $$j^0~=~\left(\dot{u}\frac{\partial }{\partial\dot{u}}-1\right){\cal L}$$ de la corriente de Noether es la densidad de energía. El cargo Noether correspondiente$Q=\int \!d^nx~j^0$es la energía funcional buscada.