¿Por qué el teorema del trabajo y la energía necesita incluir fuerzas internas?

Esta es una pregunta extraña.

Las leyes de Newton incluyen fuerzas internas. Sin embargo, la tercera ley de Newton cancela su efecto general en un centro de masa . Pero, si desea comprender los movimientos de las partes constituyentes del sistema, entonces debe comprender sus fuerzas internas.

Así que supongamos que tenemos una colección de partículas$\{i\}$con masas$m_i$y (vector) posiciones$x_i$cada uno sintiendo fuerzas externas$F_i$y fuerzas internas$V_{ij} = -V_{ji}.$Por lo general, los describimos en su totalidad como una masa$M = \sum_i m_i$en la posición del centro de masa$X = \sum_i \frac{m_i}M x_i.$Las leyes de Newton dicen que los EOM para el centro de masa son (con puntos como derivados del tiempo)

$$M \ddot X = \sum_i m_i \ddot x_i = \sum_{i}\left(F_i + \sum_j V_{ij}\right) = \sum_i F_i = F.$$ Aquí $F$es la "fuerza efectiva" en el centro de masa. Con un poco más de detalle podríamos expresar esa cancelación como "desde $V_{ij} = -V_{ji}$podemos tomar el promedio entre esos para encontrar $V_{ij} = (V_{ij} - V_{ji})/2,$entonces cuando calculamos $\sum_{ij} V_{ij}$lo expandimos en estos dos términos, $\left(\sum_{ij} V_{ij} - \sum_{ji} V_{ji}\right)/2.$En el segundo término reetiquetamos $i \leftrightarrow j$simultáneamente y encontramos $\sum_{ij} (V_{ij} - V_{ij})/2 = \sum_{ij} 0 = 0$directamente". En uno o dos párrafos llamaré a esto el "truco de cancelación antisimétrica".

De manera similar, podemos usar el truco habitual de trabajo y energía y multiplicar ambos lados por$\dot X,$flexible

$$\frac{dK}{dt} = \frac d{dt} \left( \frac 12 M \dot X ^2 \right) = F \dot X = P$$ donde aqui $K$significa "la energía cinética del centro de masa" y $P$significa "el poder de la fuerza efectiva en el centro de masa". Sin embargo, hay un montón de energía cinética en el sistema que no se ve en esta imagen. La forma más fácil de pensar en esto es pensar en un giroscopio que está girando pero está quieto: esta imagen ignora toda esa energía cinética de rotación.

Si, en cambio, queremos la energía cinética total , encontramos que esta es

$$T = \sum_i\frac 12 m_i \dot x_i^2 = \sum_i \left( F_i \dot x_i+ \sum_j V_{ij} \dot x_i \right)$$ El $V_{ij}$¡Los términos aquí no desaparecen a través del truco de cancelación antisimétrica! Eso es porque obtienes $\sum_{ij} V_{ij} (\dot x_i - \dot x_j) / 2$después del reetiquetado, pero no hay garantía de que $\dot x_i = \dot x_j.$

Solo voy a dar un par de ejemplos: casos en los que es obvio que las fuerzas internas cambian el estado de energía cinética de todo el sistema.

---

• Considere un sistema de dos masas que descansan sobre una superficie horizontal sin fricción con un resorte ligero sostenido entre ellas pero no conectado a ninguna de las masas. En el estado inicial, el resorte se mantiene firmemente enrollado mediante un mecanismo de barra y pestillo y se fija permanentemente a una de las masas. La energía cinética inicial y el momento son cero. Cuando se suelta el resorte, las dos masas se separan (por fuerzas internas que hacen un trabajo neto positivo) y se separan. El impulso del estado final es cero, pero la energía cinética (toda la energía) es positiva.

• Considere una estación espacial giratoria toroidal. Dale dos ascensores por simetría y haz que cada uno levante simultáneamente una masa$m$desde el borde hasta el cubo. Calcule el cambio en la energía cinética angular cuando esto sucede y compárelo con el trabajo realizado para levantar las masas. Una vez más, las fuerzas internas realizan un trabajo positivo que da como resultado un aumento de la energía cinética general.

---

La tercera de Newton te dice que el sistema conservó la cantidad de movimiento , no la energía. Esto se debe en parte a que la energía cinética es una cantidad definida positiva.

---

Estoy recibiendo críticas de los usuarios que interpretan el teorema del trabajo y la energía como excluyente de la energía cinética interna del sistema. Esa no es la regla que usan Goldstein o Marion & Thornton.

En particular, Goldstein escribe (en la sección 1.2 (sobre sistemas de partículas) de la segunda edición, página 9 en mi copia)

Por lo tanto, el trabajo realizado todavía se puede escribir como la diferencia de las energías cinéticas final e inicial.

$$W = T_2 - T_1$$ dónde $T$, la energía cinética total del sistema , es $$T = \frac{1}{2}\sum_i m_i v_i^2 \,.$$

El énfasis aquí es mío. Esta definición incluye claramente la energía cinética interna del sistema en el teorema del trabajo-energía y eso requiere incluir la fuerza interna como se describió anteriormente.

Supongo que es posible que haya dos campos en esto (no tengo referencias que den la otra forma, así que no puedo decirlo con seguridad), pero si es así, los profesores de OP están claramente en el mismo campo que Goldstein. y Marion & Thorton. La otra interpretación se topa con problemas graves tan pronto como permite que los sistemas funcionen. En ese caso, el trabajo externo se divide en energías cinéticas de traslación y rotación, por lo que debemos incluir los movimientos internos en la contabilidad para que el teorema trabajo-energía funcione como se anuncia.