mnmnmn-dim espacio de Hilbert vs producto de mmm y nnn espacios de Hilbert

Dos espacios de Hilbert de dimensión finita de la misma dimensión son isomorfos, y eso es todo. Claro que cualquier cosa en uno tiene una contrapartida en el otro. Lo que estás enfrentando aquí es que algún objeto en$\tilde{\mathcal{H}}_K$son más especiales que sus contrapartes en$\mathcal{H}_K$sería.

Tomemos, por ejemplo, el espacio de estado de dos qubits versus un espacio genérico de 4 dimensiones (entonces$m = n = 2$) y sus bases$\{|0\rangle, |1\rangle\}^{\otimes 2}$versus$\{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle,|d\rangle\}$. no considerarías$b+d$más especial que$b+c$, por ejemplo, mientras que la diferencia entre$|01\rangle + |11\rangle$y$|01\rangle + |10\rangle$es que a uno lo llamamos separado y al otro enredado. Esta diferencia semántica se pierde cuando borramos la diferencia entre los dos espacios. Lo mismo ocurre con las operaciones cuánticas.

Quizás el ejemplo más ilustrativo sea un cambio de base. En el espacio del producto tensorial, probablemente consideraría principalmente nuevas bases hechas por el tensor multiplicando dos bases de$\mathbb{C}^2$, para mantener la separación. Pero también podría usar la base de los estados de Bell,

$$\{(|00\rangle + |11\rangle)/\sqrt2, (|00\rangle - |11\rangle)/\sqrt2, (|01\rangle + |10\rangle)/\sqrt2, (|01\rangle - |10\rangle)/\sqrt2\}.$$ Algunas cosas son más claras en él, pero no decir, por ejemplo, qué estados eran separables y cuáles no, eso de repente requiere más cálculo, básicamente se reduce a transformar de nuevo y luego hacer lo que hubiera hecho en la base original. Esto se debe a que el $\tilde{\mathcal{H}}_4$fue tratado como $\mathcal{H}_4$. No se ha perdido información, es solo una cuestión de su elección de descripción matemática de la misma cosa.

Suponga que uno tiene un espacio de dimensión de Hilbert${K= mn}$. Es posible describirlo (al menos) de dos maneras: simplemente como un$K$-espacio dimensional, o como producto de$m$- y$n$-espacios dimensionales. En el primer caso lo llamaremos$\mathcal{H}$, en lo ultimo -$\widetilde{\mathcal{H}}$. todos los estados en$\mathcal{H}$y${\widetilde{\mathcal{H}}=\widetilde{\mathcal{H}}_1\otimes \widetilde{\mathcal{H}}_2}$, así como las operaciones cuánticas, deben estar en correspondencia biunívoca entre sí. Entonces, matemáticamente estas dos descripciones son equivalentes. Exploremos ahora si algo está cambiando desde el punto de vista físico.

Por ejemplo, en el caso de$\widetilde{\mathcal{H}}$podemos medir solo una 'parte' del estado correspondiente a uno de los espacios de Hilbert$\widetilde{\mathcal{H}}_1$y$\widetilde{\mathcal{H}}_2$. Esto provocará el colapso parcial de la función de onda. Al realizar mediciones en$\widetilde{\mathcal{H}}_1$, se obtiene (aquí y en lo que sigue, por simplicidad asumimos${\dim \widetilde{\mathcal{H}}_1 = \dim \widetilde{\mathcal{H}}_2 = 2}$, y también que las medidas en$\widetilde{\mathcal{H}}_{1,2}$se realizan en la base computacional):

$$\begin{alignat}{9} \label{pr1} \dfrac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle) \otimes (|0\rangle+|1\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &|0\rangle\otimes \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle+|1\rangle)\\ &|1\rangle\otimes \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle+|1\rangle) \end{alignedat}\right.\quad&&,\qquad\qquad(1)\\ \label{pr2} \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle\otimes|0\rangle+|1\rangle\otimes|1\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &|0\rangle\otimes |0\rangle \\ &|1\rangle\otimes |1\rangle \end{alignedat}\right.\quad&&.\qquad\qquad(2) \end{alignat}$$ En el primer caso, la medida en $\widetilde{\mathcal{H}}_1$no afecta a la parte del Estado perteneciente a $\widetilde{\mathcal{H}}_2$. En el último caso, la situación es opuesta: debido al enredo, el resultado de la $\widetilde{\mathcal{H}}_1$la medición produce el colapso de $\widetilde{\mathcal{H}}_2$. Es natural preguntarse cuáles son los reflejos de estos efectos en el caso de $\mathcal{H}$.

Denotando los cuatro estados de$\mathcal{H}$con letras, asignamos los estados como:

$$\begin{alignat}{99} |00\rangle & = |a\rangle \quad&&,\qquad |01\rangle & = |b\rangle \quad&&,\qquad |10\rangle & = |c\rangle \quad&&,\qquad |11\rangle & = |d\rangle \quad&&.\qquad\qquad(3) \end{alignat}$$

Ahora queremos reformular (1) y (2) en términos de$\mathcal{H}$:

$$\begin{alignat}{9} \label{pr3} \dfrac{1}{2}(|a\rangle+|b\rangle+|c\rangle+|d\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &\dfrac{1}{\sqrt{2}} (|a\rangle+|b\rangle) \\ &\dfrac{1}{\sqrt{2}} (|c\rangle+|d\rangle) \end{alignedat}\right.\quad&&,\qquad\qquad(4)\\ \label{pr4} \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|a\rangle+|d\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &|a\rangle \\ &|d\rangle \end{alignedat}\right.\quad&&.\qquad\qquad(5) \end{alignat}$$

Es tentador llamar a las operaciones anteriores 'proyectar sobre los estados en el RHS de (1)'. Para convencernos, echemos un vistazo a los canales cuánticos correspondientes a estas medidas. El$\widetilde{\mathcal{H}}_1$operadores de medida de$\widetilde{\mathcal{H}}$son:

$$\begin{equation} \widetilde{M}_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle\langle0|) \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} \qquad,\quad \widetilde{M}_2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|1\rangle\langle1|) \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} \quad.\qquad\qquad(6) \end{equation}$$ Representan un conjunto completo de operadores de medida en $\widetilde{\mathcal{H}}_1$y, por supuesto, un conjunto incompleto en $\widetilde{\mathcal{H}}$. Reescribiendo aquellos en la base de $\mathcal{H}$renders: $$\begin{equation}\begin{alignedat}{9} M_1 &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\end{pmatrix} = |a\rangle\langle a| + |b\rangle\langle b| \quad&&,\qquad\qquad(7)\\ M_2 &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\end{pmatrix} = |c\rangle\langle c| + |d\rangle\langle d| \quad&&.\qquad\qquad(8) \end{alignedat}\end{equation}$$ Como era de esperar, estos son los proyectores en $\operatorname{span}\{|a\rangle,|b\rangle\}$y $\operatorname{span}\{|c\rangle,|d\rangle\}$.

Ahora, hablando de física. ¿Qué diría uno sobre el estado?${\dfrac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle) \otimes (|0\rangle+|1\rangle)}$al medir en la base computacional? — 'No estoy seguro acerca de ninguno de los dos qubits'. Y sobre el estado posterior a la medición.${|0\rangle\otimes \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle+|1\rangle)}$? — 'No estoy seguro sobre el segundo qubit, pero el primero es definitivamente$|0\rangle$'. Claramente, (4) permite una interpretación similar.

La característica célebre del estado de Bell entrelazado al máximo es la capacidad del observador para identificar completamente el estado posterior a la medición de un sistema compuesto realizando una medición por su parte. Al observar (5), vemos cómo funciona este mecanismo en el lenguaje de$\mathcal{H}$: la identificación de un estado general posterior a la medición después de proyectar la entrada en un subespacio bidimensional es, por supuesto, imposible. Sin embargo, para ciertos estados especiales, una medida 'suave' puede proporcionar la información completa sobre el estado posterior a la medición.