¿Por qué la derivada covariante es derivada parcial en SR?

Soy nuevo en estos temas y he estado confundido en algunas relaciones entre el límite de SR para GR.

En coordenadas cartesianas, la base no cambia, por lo que

$$\begin{equation}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}=0 \quad \quad(1)\end{equation}$$ y por lo tanto$V^{\alpha};_{\beta}=V^{\alpha},_{\beta}$.

He visto que las coordenadas polares cambian punto a punto:

$$\begin{equation}|\vec{e_{\theta}}|^{2}=r^{2}\quad\quad(1.1),\end{equation}$$ entonces las coordenadas polares no tienen una base constante y para estas coordenadas, la ecuación (1) no es cierta, ya que al igual que la derivada covariante no es la derivada parcial para ese sistema de coordenadas, es decir $$\begin{equation}V^{\alpha};\beta\ne V^{\alpha},\beta\quad (1.2)\end{equation}$$

Mi libro Schutz define un marco localmente inercial como un marco en el que todo es localmente como SR, y formalmente mediante un teorema vemos que

Elige cualquier punto$\mathcal{P}$de la variedad, se puede encontrar un sistema de coordenadas cuyo origen está en$\mathcal{P}$y cuya métrica es la métrica de Minkowski (2)

el tambien dice

En particular, decimos que las derivadas de los vectores base de un sistema de coordenadas localmente inercial son cero en$\mathcal{P}$( 3)

Porque???, el sistema de coordenadas es arbitrario, no puede ser polar o esferico?, entiendo que localmente el marco inercial se comporta como SR pero en SR puedo tener polar, esferico y algun otro sistema de coordenadas que derivadas de base son no es igual a cero.

Esta definición mencionada en (3) lo lleva a concluir que

$$\begin{equation} V^{\alpha};\beta=V^{\alpha},\beta \quad \mbox{ at } \mathcal{P} \mbox{ in this frame } \quad \quad (4)\end{equation}$$

Por qué ?? nuevamente, este marco está en SR, está bien, pero este marco puede asumir muchos sistemas de coordenadas que la derivada de la base no es necesariamente igual a cero, pero si considero este punto$\mathcal{P}$como medida instantánea, la derivada de base no constante será cero, pero ¿cómo$V^{\alpha},\beta$existe en medida instantanea??

de lo que sigue con estas conclusiones

$$\begin{equation}g_{\alpha\beta;\gamma}=g_{\alpha\beta,\gamma}=0\quad \mbox{ at } \mathcal{P}\quad \quad (5)\end{equation}$$ porque la última ecuación es una ecuación tensorial, entonces es válida

$$\begin{equation}g_{\alpha\beta;\gamma}=0\quad \mbox{in any basis }\quad (6) \end{equation}$$

esto sera valido en cualquier base en este marco SR ?? en el punto cercano del marco SR$\mathcal{P}$, o en todos los marcos ??.

Todas estas dudas me llevan a preguntarme si SR se define solo para coordenadas cartesianas, es decir, cuando hablamos de SR se supone que asume solo coordenadas cartesianas??.

Perdón por la tonelada de preguntas, estoy perdido en estas dudas hace unos días.