Prueba de la longitud de onda de De Broglie para electrones

De Broglie propuso que la relación$p=h/\lambda$no solo se mantendría para los fotones sino también para las partículas masivas. Esto inspiró a Schrödinger a proponer su famosa ecuación.

El$c$en$mc^2$no es la velocidad real de la partícula (a menos que estemos hablando de la luz, pero entonces m sería cero).$mc^2$es simplemente la energía que tiene la partícula en reposo. No sé exactamente cómo lo hizo De Broglie, pero puedes probarlo así:

Primero puedes probar que el operador de cantidad de movimiento debe ser$\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$encontrando el generador del operador de traducción en la forma mecánica cuántica (que te da algo así como$\frac{d}{dx}$como el generador) y la forma clásica (que te da el impulso como el generador), y simplemente establece que ambos resultados deben ser equivalentes. Si esto no te suena familiar, entonces te sugiero que investigues el teorema de Noether (es uno de los mejores teoremas en matemáticas/física, así que te lo sugiero de todos modos). Pero si está de acuerdo con asumir que el operador de cantidad de movimiento es igual a$\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$, entonces puedes comenzar desde allí.

Usando$p = \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$y la suposición de que las partículas tienen una naturaleza ondulatoria, puede probar que$p = \frac{h}{λ}$. Ya que en general, podemos escribir la función de onda de un estado dado de una partícula como:$Ψ(x,t) = Ψ_0 e^{i(kx-ωt)}$, lo que nos da:$pΨ = \frac{\hbar}{i}\frac{dΨ}{dx} = \hbar k Ψ$, entonces$p = \hbar k = h/λ$.

Puede hacer lo mismo para probar el teorema de Planck al encontrar primero el generador de traslación del tiempo y probar que el operador de energía debe ser$i \hbar \frac{d}{dt}$, y luego dejar que este operador actúe en$Ψ$de nuevo.

NB: En el caso más general$Ψ(x,t)$debe ser una superposición de funciones de onda con diferentes$Ψ_0$,$k$y/o$ω$, pero ya no puedes estar seguro de cuál es el momento de tu partícula.

La "prueba" de la pregunta es incorrecta ya que afirma que la energía de la onda de materia es$E=mv^2$, que es el doble de lo que realmente es.

Aquí, voy a demostrar el caso no relativista. Para el caso relativista, no se puede probar la hipótesis de De Broglie, debería ser un postulado, al igual que la hipótesis de Planck. En realidad, en QM relativista, el postulado es en términos de cuatro vectores:$p^\mu = \hbar k^\mu$, dónde$p^\mu=(E/c, \mathbf{p})$es de cuatro impulsos y$k^\mu = (\omega/c, \mathbf{k})$es el cuadrivector de onda.

La velocidad de grupo para cualquier onda es la siguiente:

Dado que la velocidad del grupo corresponde a la velocidad real del paquete de ondas, entonces