¿Por qué la analiticidad es una buena suposición matemática en la relatividad general?

¿Por qué la analiticidad es una buena suposición matemática en la relatividad general? Si bien creo que hay mucha evidencia de que el mundo real es fluido, no veo por qué deberíamos tratarlo como analítico.

No creo que la analiticidad sea una buena suposición en GR, exactamente por la razón que das.

En mi experiencia, la discusión sobre la analiticidad surge con mayor frecuencia porque estamos hablando de la extensión analítica máxima de un espacio-tiempo. El punto de considerar la extensión máxima es que queremos descartar ejemplos no físicos que parecen geodésicamente incompletos, pero que de hecho son solo un espacio-tiempo geodésicamente completo con una pieza recortada. La razón para hacerlo analítico probablemente sea solo el deseo de poder hablar sobre "la" extensión máxima.

Por ejemplo, supongamos que tengo un espacio-tiempo que es la porción del espacio de Minkowski con$t<0$. (Wald tiene un buen ejemplo en la página 148 en el que esto se representa inicialmente como una cierta métrica singular para que no sea inmediatamente obvio qué es). Queremos poder hablar sobre "la" extensión máxima de este espacio-tiempo y decir que es el espacio de Minkowski. Pero la unicidad puede no ser válida o puede ser más difícil de probar si no exigimos la analiticidad. (Es bastante difícil demostrar que el espacio de Minkowski es incluso estable, y creo que Choquet-Bruhat solo demostró la existencia local, no global, y la singularidad de las soluciones de los problemas de Cauchy en el espacio-tiempo del vacío).

Esto es probablemente análogo a querer extender la función$e^x$de la recta real al plano complejo. Si solo exige suavidad pero no analiticidad, no tiene unicidad.

No sé qué tan bien se sostiene esta analogía en detalle, y parece ser cierto que en muchos casos solo se puede requerir algún tipo de regularidad, pero no analiticidad. Por ejemplo, Hawking y Ellis prueban la unicidad de los desarrollos máximos para espaciotiempos vacíos (p. 251) utilizando solo la suposición de que es un espacio de Sobolev con la métrica en$W^4$(es decir, en términos generales, que es cuatro veces diferenciable). (¿Esta es probablemente su presentación del trabajo de Choquet-Bruhat...?)

Gran pregunta. Una vez le pregunté a un posdoctorado de GR lo mismo y me respondió

Ciertamente, encuentro que la analiticidad es una suposición demasiado restrictiva, y la impresión que tengo es que otras personas en mi campo están de acuerdo, pero eso podría ser un sesgo de confirmación. Para un ejemplo simple, la analiticidad me excluye de, digamos, arrojar repentinamente alguna materia a un agujero negro. Cualquier perfil de materia siempre debe tener una cola infinita para ser analítico.

Por si sirve de algo, muchos resultados importantes en GR, como el teorema sin cabello, requieren una analiticidad real. Podría decirse que este hecho debilita la relevancia de estos teoremas para describir el mundo real.

Los físicos reales no creen en la plenitud de las continuaciones analíticas de las soluciones relativistas generales, pero la razón por la que no creen es que creen que las distribuciones de materia y las condiciones iniciales cortan las partes "malas" de la extensión analítica, así que una vez entras en la distribución de materia, corta la solución de schwarzschild y la extensión analítica ya no es válida.

En mi opinión, la analiticidad no es una buena suposición ni en la Relatividad General ni en la Física en general (piense en transiciones de fase de primer orden en termodinámica, histéresis en electrodinámica, etc.). Aunque la analiticidad no es una buena suposición, es una suposición sin que no pudimos avanzar. Supuestos similares en Física son cuerdas sin masa, agua seca, etc. No existen en la naturaleza pero simplifican las ecuaciones, permiten teoremas, etc.

Sabemos que el agua no está seca porque hemos encontrado ejemplos en la naturaleza donde el agua moja su recipiente. Creo que la búsqueda de métricas no analíticas en la naturaleza se evitaría si la Relatividad General no fuera cuantificable. Entonces, tómalo como una hipótesis teórica y trabaja con ella hasta que obtengas un resultado que contradiga la observación.

En definitiva, las métricas son analíticas porque no hemos medido una que no lo sea.

Actualizar

La mentalidad para abordar la Física es diferente a la actitud que se tiene en las Matemáticas. En Física, no hacemos preguntas como "¿es el quinto postulado realmente un teorema?" Si bien ese tipo de pregunta es importante, no cae dentro del ámbito de los físicos. ¿Te imaginas lo que hubiera pasado si la Mecánica Cuántica se hubiera mantenido en suspenso hasta que Schwartz (1951) justificara completamente la función delta de Dirac (1930)? Más recientemente, usamos las teorías de Yang Mills sin preocuparnos por el problema de la brecha de masa. Observe que el premio por resolver ese problema lo ofrece el Clay Mathematics Institute y no, digamos, la APS.

El delta de Dirac fue aceptado en la comunidad física debido a su utilidad en los teoremas. El delta de Dirac pertenece a una clase de abstracciones que aparecen después de un proceso límite. Las cuerdas sin masa son similares en ese sentido. El teorema "la tensión en un extremo de una cuerda sin masa es la misma que la tensión en el otro extremo" no se puede aplicar estrictamente por la sencilla razón de que no hay cuerdas sin masa. Yo diría que analycity también es una abstracción que surge después de tomar límites. Desafortunadamente, la analogía termina ahí porque las funciones no pueden ser “casi analíticas”.

Si no desea clasificar el análisis entre esas "abstracciones que son útiles para el avance de la física, incluso si no ocurren en la naturaleza", entonces la pregunta se vuelve similar a "¿por qué hay solo dos tipos de carga eléctrica?" Entonces, la respuesta es similar: diseñar un experimento que pruebe una tercera señal de carga eléctrica, obtener financiación, ejecutarlo y publicar los resultados. En este caso, la pregunta es ¿cómo crearía/mediría métricas no analíticas? Probablemente, son creados por densidades de materia no analíticas. Pero, incluso si pone condiciones iniciales no analíticas, se puede argumentar que todo (excepto GR) es compatible con la Mecánica Cuántica. En QM, las condiciones iniciales no analíticas desarrollan una cola infinita instantáneamente.

Es posible que la pregunta original se pueda ver con una perspectiva diferente. En ese caso, pediría un ejemplo de una pregunta similar en una rama diferente de la Física.

¿Por qué la analiticidad es una buena suposición en la relatividad general?

no lo es

En relatividad general, la continuación analítica de variable real se usa comúnmente para comprender los espaciotiempos. Por ejemplo, lo usamos para extender el espacio-tiempo de Schwarzschild al espacio-tiempo de Kruskal...

Te recomiendo que te sientes y le eches un vistazo detenidamente a la página 848 de MTW. Ahí es donde puedes ver estos dos diagramas:

^{Derechos de autor de la imagen WH Freeman y compañía, editores de Gravitation}

Mire cuidadosamente la imagen de Schwarschild a la izquierda. ¿Ves cómo está truncado en la parte superior? El cuerpo que cae de alguna manera cruza el horizonte de sucesos en el tiempo t = infinito. Luego regresa hacia abajo en el gráfico, trazando la curva a la izquierda de la línea discontinua vertical. Termina en la singularidad del punto central en r = 0 en el momento adecuado tau τ = 35,1 M. Sí, según MTW, un cuerpo que cae va al final de los tiempos y regresa. Pero eso no es todo. Si observa horizontalmente la carta de Schwarzschild en el tiempo t = 45, notará que el cuerpo que cae está en dos ubicaciones al mismo tiempo t. Está fuera del horizonte de sucesos con un tiempo propio τ = 33,3 M, y al mismo tiempo está dentro del horizonte de sucesos con un tiempo propio de alrededor de τ = 34,3 M. Por eso leíste sobre el elefante y el horizonte de sucesos, donde el elefante está en dos lugares a la vez. El análisis no va a arreglar eso. Todo lo que hace es empeorar la situación al lanzar segundos de tortuga que duran para siempre. Y luego la historia dice que el cuerpo que cae alcanza el punto de singularidad en un tiempo propio finito. Tiempo propio finito que aún no ha sucedido y nunca lo hará .

Parafraseando a Newton, que la gravedad deba conducir a tales cosas es para mí "un absurdo tan grande que creo que ningún hombre que tenga en materia filosófica alguna facultad competente de pensar pueda caer jamás en él" . Pero, de nuevo, soy el único por aquí que ha leído los documentos digitales de Einstein.

y también extender al máximo los espaciotiempos de Kerr y Reissner-Nordstrom.

Ah, los espaciotiempos de Kerr y Reissner-Nordstrom. Echemos un vistazo a otra pregunta sobre eso, a saber, ¿Qué tiene de inestable el agujero de gusano en la solución de Reissner-Nordström? Ahí es donde encontramos este diagrama de Penrose:

Presenta un universo paralelo, un antiverso, un antiverso paralelo, un agujero de gusano y un agujero blanco. Y más. Cómo alguien podría tomar esto en serio por un momento me supera por completo. En este momento, realmente me gustaría ser bastante contundente al respecto. Pero me perdonarás si me muerdo la lengua.

Sin embargo, no entiendo por qué esta es una buena suposición.

Con suerte, ya deberías entender por qué no lo es.

Matemáticamente, se podría decir que la métrica se define simplemente como analítica, como si estuviera definida como suave, pero físicamente hay una gran diferencia. La suavidad refleja directamente la observación: una violación de la suavidad requeriría energía infinita como se argumenta aquí.

También se podría decir que la métrica es algo abstracto y que el mapa no es el territorio. Y que si crees que la gravedad puede abrir alguna puerta a algún antiverso paralelo, tal vez hayas dejado caer un punto en alguna parte.

Por el contrario, las predicciones de la analiticidad, como los "otros universos" en el otro extremo de un agujero negro de Reissner-Nordstrom, nunca se han verificado, y hasta donde yo sé, nunca se podrán verificar.

Knzhou, son una fantasía. A la par de pensar que la puerta de un horno es una puerta de entrada al paraíso.

Compare esto con otro uso de la analiticidad, en la teoría cuántica de campos. Podemos continuar analíticamente hasta el tiempo imaginario mediante la rotación de Wick y realizar el cálculo allí, luego continuar hasta el tiempo real. En este caso, la analiticidad se usa puramente como un dispositivo de cálculo; nunca vemos las soluciones de tiempo imaginario como físicamente "reales".

La teoría cuántica de campos tiene sus propios problemas. Y me atrevería a decir que son mucho peores de lo que crees. Uno para otro día.

La analiticidad me parece poco física porque implica que la totalidad del espacio-tiempo está determinada por una parte arbitrariamente pequeña de él. ¿Hay alguna manera de motivar por qué las extensiones analíticas de la relatividad general deben verse como físicas?

No.