¿Por qué hermitiano, después de todo? [duplicar]

Los operadores hermitianos (o más correctamente en el caso de dimensión infinita, los operadores autoadjuntos) se usan no porque las medidas deban usar números reales, sino porque casi siempre decidimos usar números reales.

Como menciona el OP en un momento, puede elegir usar números complejos para etiquetar una pantalla bidimensional, y en ese caso podrá usar el llamado operador normal para representar el observable bidimensional. (Al contrario de lo que pensaba Dirac, aquí nada sale mal).

No debería ser demasiado difícil aceptar mi siguiente afirmación: ¡Puedes usar cualquier escala de medición que quieras para medir un observable cuántico! Puede etiquetar las posiciones de los punteros con elementos de fruta si lo desea, y aún puede construir un observable perfectamente legítimo.

No hay duda de que los reales y los complejos tienen enormes ventajas sobre otras escalas de medida más arbitrarias (debido a su rica estructura interna que capitalizamos en el análisis funcional), pero la idea de que los números reales están de alguna manera dotados de un prestigioso estatus metafísico es camelo.

Cómo definir un observable con cualquier escala de medida que quieras

Paso 1. Configure un montón de detectores de partículas

Paso 2. Pegue una etiqueta a cada detector

El conjunto de etiquetas lo denotaremos por$\Omega$. Ejemplos incluyen:

Paso 3. Escriba la lista de todos los eventos posibles

Por evento , me refiero a un subconjunto$\Delta$de$\Omega$que representa una posible pregunta como "¿Un detector en$\Delta$fuego?". Etiquetaremos la estructura del evento$\Sigma$, p.ej

Paso 4. Asociar cada evento en$\Sigma$con un operador de proyección

Esta es la parte difícil, y no hay receta para ello. Pero debe asegurarse de que la familia de proyectores forme un álgebra booleana que refleje perfectamente el álgebra natural de$\Sigma$.

Llamaremos a la asociación.$\sigma$, de modo que$\sigma:\Sigma\to\mathscr{P}(\mathscr{H})$.

¡Y eso es básicamente todo! El objeto$\sigma$(técnicamente, una medida de valor de proyección en$\langle\Omega,\Sigma\rangle$) es un observable cuántico. Contiene toda la información probabilística que necesita para calcular la medida de probabilidad en la escala de medida elegida para cualquier estado cuántico.

Por ejemplo, suponga que el estado del sistema es$\rho$y quiere la probabilidad de que un detector$\Delta\in\Sigma$incendios La probabilidad deseada es simplemente$p=tr[\rho\sigma(\Delta)]$.

¿Qué diablos tiene esto que ver con los operadores Self-Adjoint?

¿Estás listo para el clímax? Aquí lo tienes...

SI elige usar la escala de medición$\langle\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R})\rangle$, ENTONCES podrá construir un operador autoadjunto que sea precisamente equivalente (en términos de la información que almacena) al PVM que construyó.

SI elige una pantalla de detección calibrada por$\langle\mathbb{C},\mathscr{B}(\mathbb{C})\rangle$, LUEGO repita la oración anterior reemplazando 'auto-adjunto' con 'normal'.

(Ninguna de las afirmaciones anteriores es obvia, por cierto. Son resultados famosos en el análisis funcional conocidos como los teoremas espectrales).

SI eliges ser una Fancy Nancy y usas$\{\heartsuit,\clubsuit,\diamondsuit,\spadesuit\}$para una escala de medición (con su poder establecido para la estructura del evento) ENTONCES los frutos de su trabajo son más modestos. En particular, aún obtiene las respuestas a cualquier pregunta que quiera hacer, pero no obtiene ningún operador ordenado que le proporcione atajos computacionales. En cambio, siempre estarás haciendo cálculos como$p=tr[\rho\sigma(\heartsuit\clubsuit)]$.

Ni siquiera he tocado los vectores propios todavía, pero baste decir que tampoco tienen un estatus fundamental en la teoría.

No hay duda de que podemos aprender algo leyendo las obras de los grandes maestros, pero tomar esa obra como el estado de la cuestión puede hacerte retroceder un siglo. Hemos aprendido mucho desde Einstein y Dirac.

En caso de duda, vuelva a los maestros. De los Principios de QM de Dirac

Cuando hacemos una Observación medimos alguna variable dinámica. Es obvio físicamente que el resultado de tal medición siempre debe ser un número real, por lo que deberíamos esperar que cualquier dinámica. variable que podemos medir debe ser una variable dinámica real. Uno podría pensar que podría medir una variable dinámica compleja midiendo por separado sus partes real e imaginaria pura. Pero esto implicaría dos mediciones o dos observaciones, lo que estaría bien en la mecánica clásica, pero no en la mecánica cuántica, donde dos observaciones en general interfieren entre sí; en general, no es permisible considerar que dos observaciones pueden ser hechos exactamente simultáneamente, y si se hacen en rápida sucesión, el primero generalmente perturbará el estado del Sistema e introducirá una indeterminación que afectará al segundo.

Según Dirac, la propiedad I en su pregunta es más fundamental. Dado que las matrices hermitianas son normales, se cumple la propiedad II. También explica por qué una variable dinámica real debería ser una matriz hermítica partiendo de suposiciones simples en su libro. El libro es bastante antiguo y está disponible de forma gratuita.