¿Por qué hay un signo menos en esta derivación de la ecuación de onda?

El signo relativo no es solo una convención. Una vez que decidas que$E$está representado por$i\hbar \partial/\partial t$, debe haber un signo menos en la fórmula para$p$, a saber$p=-i\hbar \partial / \partial x$. O viceversa.

En primer lugar, tiene que haber$i$o$-i$en todas las fórmulas porque$\partial/\partial x$es un operador anti-hermitiano (por el signo menos en la integración por partes) y necesitamos operadores hermitianos (que tiene valores propios reales medidos) para la energía, el momento y otros. ¿Qué pasa con los signos?

La única convención de signos que se eligió en los primeros días de la mecánica cuántica fue la de la energía; de hecho, uno podría haber reemplazado$i$por$-i$en esa ecuación porque$i$y$-i$juegan el mismo papel algebraico: intercambiar$i$y$-i$es un "automorfismo externo" de números complejos. Pero una vez que se fija este signo, también se fijan todos los demás signos. Eso incluye signos negativos en el momento, el momento angular, las transformaciones de calibre, la imagen de Schrödinger, la imagen de Heisenberg, la integral de trayectoria de Feynman y cualquier otra fórmula de la mecánica cuántica. Solo hay una forma de definir la mecánica cuántica dado un límite clásico (con sus convenciones de signos) que necesitamos obtener.

El signo menos relativo en$p,E$puede volverse invisible si solo actúa con las segundas derivadas (momento al cuadrado, energía al cuadrado), pero es visible si actúa con las primeras potencias de los operadores.

La onda de De Broglie, o una onda asociada con una partícula, es proporcional a

$$\exp \left[ \frac{i}{\hbar} (\vec p\cdot \vec x-Et)\right]$$ Tenga en cuenta que si diferencia con respecto a $x$y $t$, y multiplicar el resultado por $i\hbar$, usted obtiene $-p$y $E$, respectivamente. (Omita los signos vectoriales si desea solo un espacio unidimensional con una $x$y uno $p$.)

El signo relativo entre$\vec p\cdot \vec x$y$Et$en la fórmula anterior de de Broglie es físicamente necesario porque solo$Et - \vec p \cdot \vec x$es el producto interior lorentziano correcto de los vectores$(E,\vec p)$y$(t,\vec x)$: el signo menos relativo proviene de los signos opuestos de espacio y tiempo en la firma del espaciotiempo. Tenga en cuenta que el inicio de sesión doblemente relativo$(E,\vec p)$y$(t,\vec x)$no se puede voltear porque en relatividad,$\vec pc^2/E$es la velocidad$\vec v$.

El argumento anterior es para una interpretación relativista de$E$. Sin embargo, la energía cinética no relativista se define simplemente como una energía relativista desplazada,

$$E_{\rm nonrel} = E_{\rm rel} - mc^2$$ entonces el coeficiente (y el signo) delante de $E$permanece invariable y $\vec p$está totalmente sin cambios. También se pueden diseñar argumentos relacionados que analicen dónde se mueve la onda de De Broglie. Para que se mueva en la dirección correcta, tiene que haber un signo menos en $Et-px$. Está relacionado con el hecho de que la forma de los objetos que se mueven por la velocidad $v$solo depende de $x-vt$porque $x=vt$(sin signo menos, que se convierte en signo menos si mueves ambos términos al mismo lado) es la ecuación para su centro de masa.

Las hipersuperficies de fase constante de la onda de de Broglie son ortogonales a las líneas de mundo de las partículas que dictan el signo. Después de todo, los máximos y mínimos de las ondas deberían moverse en la misma dirección que las propias partículas.

Sí, si la dependencia del tiempo se escribe como$e^{-i\omega t}$, entonces los otros signos se vuelven ciertos. Es una convención en QM.

En la física del plasma, a veces usan la convención opuesta para la transformada de Fourier del tiempo. En la convención opuesta, la parte imaginaria de$\omega$=$\omega' + i\omega''$describe el decremento del desvanecimiento de la onda, si es positivo.