¿Cuál es precisamente la escala energética de un proceso?

Hay al menos dos respuestas posibles para dar, pero ambas, al final, equivalen a lo mismo: no hay una forma "correcta" de fijar la escala de energía de un proceso, pero eso no importa, excepto que su perturbación la teoría probablemente se romperá si eliges mal la escala.

La respuesta anterior : la escala de renormalización se define arbitrariamente para fijar algunos parámetros de la teoría a los valores medidos y deshacerse de los infinitos, por ejemplo, un$\phi^4$acoplamiento escalar$\lambda$a veces se soluciona mirando el$\phi^4$interacción en el canal$s^2 = 4\mu^2, t^2 = 0, u^2 = 0$, pero también podrías mirar el canal en$s^2=t^2=u^2=\mu^2$. Necesitamos simplemente tomar cualquier tipo de condición para arreglar nuestros contratérminos y obtener respuestas finitas para nuestras amplitudes.

Generalmente, no hay un significado real para la escala de renormalización, pero si la define en canales de diagrama como$s^2=t^2=u^2=\mu^2$, entonces reflejará la escala de energía "típica" del proceso. Al hacer la teoría de la perturbación renormalizada, los contratérminos en el lagrangiano quedarán fijados por las condiciones de renormalización y darán respuestas finitas para las amplitudes independientemente de cómo se elija la escala. Sin embargo, si está en procesos que tienen canales muy diferentes de la escala, las correcciones perturbativas comienzan a crecer increíblemente rápido, por lo que no gana nada al tener amplitudes que son "teóricamente" independientes de la escala, y esto motiva a buscar acoplamientos continuos. - al poder variar la escala de renormalización sin hacer una perturbación orden por orden explícitamente en el diagrama, ahorramos mucho esfuerzo.

La respuesta wilsoniana moderna : una teoría cuántica de campos se ve intrínsecamente como una teoría efectiva que posee un límite de momento inherente$\Lambda_0$. Esta ya no es una "escala" en la que hacemos algunas travesuras porque queremos deshacernos de los infinitos, es una propiedad de la teoría , que te dice qué tan alto van los momentos excitados. Los modos de Fourier de los campos cuánticos están literalmente cortados por encima de esta escala, y consideramos que la medida de la integral de trayectoria (que está "definida" por un proceso de límite en una red) solo contiene las medidas de los momentos inferiores.$\Lambda_0$.

"Renormalizar" ahora significa que podemos integrar aún más modos de Fourier, yendo a un nuevo punto de corte$\Lambda<\Lambda_0$, haciéndolos acoplamientos en la acción efectiva wilsoniana en lugar de objetos dinámicos de la teoría. Después$\Lambda$es claramente la escala por encima de la cual no esperamos que se exciten muchos modos de los campos; de hecho, es el orden de los momentos que ocurren en el proceso.

Quizás un poco decepcionante para su pregunta, esta forma de ver el límite es inherentemente aproximada , y no hay una forma exacta de obtener la "escala de energía de un proceso", pero nuevamente, no importa, ya que todos los lo que hace la renormalización es cambiar la forma en que funciona nuestra teoría de la perturbación mediante la ejecución de los acoplamientos , y nuevamente, en principio, somos libres de elegir cualquier tipo de escala en el proceso para que sea nuestra escala de renormalización, pero si toma una que se desvía mucho del significado intuitivo de "orden de momentos en el proceso" demasiado, nuevamente no se divertirá tratando de obtener los contratérminos perturbativamente.

Vas al marco del centro de masa para encontrar que$\sum_i \vec{p}=\vec{0}$, y el cuatro vector de impulso total es, por lo tanto,

$$P_{\text{tot}}^{\mu}=\left(\frac{1}{c}\sum_{i}E_i^{\text{COM}}, \vec{0}\right)$$ entonces definimos la escala de energía covariantemente como $\mu=\sqrt{-s}$donde $s$es la variable mandelstam $s\equiv P_{\text{tot}}^{\mu}P_{\text{tot}\mu}$en unidades de $c=1$, de modo que en el marco COM $$\mu = \sum_i E_i^{\text{COM}} = \sum_i \frac{m_{oi} c^2}{\sqrt{1 - v_i^{\text{COM }2}/c^2}}$$