Explicación intuitiva

Suponga que perfora dos agujeros perpendiculares a través del centro de la Tierra. Dejas caer un objeto a través de uno, luego dejas caer un objeto a través del otro precisamente en el momento en que el primer objeto pasa por el centro.

Lo que tienes ahora son dos objetos que oscilan en una sola dimensión, pero lo hacen en cuadratura. Es decir, si tuviéramos que trazar la altitud de cada objeto, uno sería algo así como$\sin(t)$y el otro seria$\cos(t)$.

Ahora considere el movimiento de una órbita circular, pero piense en el movimiento de izquierda a derecha y el movimiento de arriba a abajo por separado. Verá que está haciendo lo mismo que sus dos objetos cayendo por el centro de la Tierra, pero los está haciendo simultáneamente.

fuente de imagen

advertencia: una suposición importante aquí es una Tierra de densidad uniforme y simetría esférica perfecta, y una órbita sin fricción justo en la superficie. Por supuesto, todas esas cosas son desviaciones significativas de la realidad.

Prueba matemática

Consideremos solo la aceleración vertical de dos puntos, uno dentro del planeta y otro en la superficie, a la misma distancia vertical ($h$) del centro del planeta:

• $R$es el radio del planeta
• $g$es la aceleración gravitatoria en la superficie
• $a_p$y$a_q$son solo las componentes verticales de la aceleración en cada punto

Si podemos demostrar que estas aceleraciones verticales son iguales, entonces demostramos que las diferentes posiciones horizontales no tienen relevancia para el movimiento vertical de los puntos. Entonces podemos liberarnos para pensar en el movimiento vertical y horizontal de forma independiente, como en la explicación intuitiva.

Calculador$a_q$es trigonometría simple. Está en la superficie, por lo que la magnitud de su aceleración debe ser$g$. Solo el componente vertical es simplemente:

Si ha resuelto el problema de "dejar caer un objeto a través de un túnel en la Tierra" , entonces ya sabe que en el caso de$p$, su aceleración disminuye linealmente con su distancia desde el centro del planeta (por eso es importante la suposición de "densidad uniforme"):

$h$es igual para nuestros dos puntos, y encontrarlo es nuevamente trigonometría simple:

Asi que:

QED

Esto también da una idea de una desafortunada consecuencia: este método solo se puede aplicar a órbitas en o dentro de la superficie del planeta. Fuera del planeta,$p$ya no experimenta una aceleración proporcional a la distancia desde el centro de masa ($a_p \propto h$), sino proporcional al inverso del cuadrado de la distancia ($a_p \propto 1/h^2$), según la ley de gravitación universal de Newton .

La respuesta de Phil, aunque bellamente ilustrada, es un poco incompleta. Se basa en el hecho de que, en el caso del túnel, está resolviendo la proyección unidimensional del satélite de órbita terrestre baja, pero no prueba esto. Hago esto a continuación. La fuerza aplicada sobre el objeto, para una esfera de densidad uniforme , es en realidad:

Dónde$k = \frac{mg}{R_{earth}}$. Esto es equivalente a un problema de resorte, cuya solución será sinusoidal con período$2 \pi \sqrt{\frac{R_{earth}}{g}}$, lo mismo que un período de órbita terrestre baja. Nuevamente, aunque la respuesta de Phil proporciona una ilustración de esto, en realidad no lo prueba. En particular, omite el hecho crucial de que esto solo es válido para una esfera de densidad uniforme .

Una explicación alternativa (que en realidad es la misma que la respuesta de @Phil): según las leyes de Kepler , una órbita es una elipse y el período de órbita es proporcional al semieje mayor de la elipse.

Un satélite en la órbita más baja intentará seguir un tipo especial de elipse (es decir, un círculo), cuyo semieje mayor es realmente el radio de la Tierra (esta es la "órbita más baja" porque el satélite roza el suelo; ignoramos el ambiente aquí).

La oscilación en el agujero es realmente otra órbita: es una elipse degenerada que se ha aplanado en una línea. Sin embargo, su semieje mayor sigue siendo el radio de la Tierra.

Mismo eje semi-mayor, por lo tanto, mismo período.

Editar: como se señaló, esa expansión es falsa de dos maneras:

• El caso degenerado de una elipse "aplanada" sería la mitad del diámetro. Si todo el peso de la Tierra estuviera concentrado en su centro, la órbita, comenzando desde el nivel del "suelo" (6300 km aproximadamente desde el centro) sin (casi) velocidad lateral, sería una caída acelerada hacia el centro; cuando estaba cerca del centro, el objeto lo perdería "por solo unos centímetros" y rápidamente lo rodearía, antes de acelerar de regreso a la posición inicial al nivel del suelo. Además, esa "elipse aplanada" tendría un semieje mayor de longitud de unos 3150 km (la mitad del radio), por un período que sería ocho veces menor que la órbita baja.

• El peso de la Tierra no está concentrado en su centro. De hecho, obtienes una trayectoria de "oscilador", que te permite emerger en Nueva Zelanda si comenzaste desde Inglaterra, precisamente porque el modelo de "masa terrestre en un solo punto" no es el que se usa en este experimento mental.

Si bien es comprensible que la órbita baja y el oscilador terminen con periodos de la misma magnitud (ambos son tipos de "caída libre" contra una Tierra con el mismo peso y comenzando a nivel del suelo), ese comentario de agitar la mano sería han sido igualmente aplicables con un período de oscilador que es el doble o la mitad del de la órbita baja. Parecen terminar bastante cerca el uno del otro y ahora no tengo idea si esto es mera coincidencia o por alguna razón fundamental.

Mi pregunta es: ¿por qué estos dos períodos (oscilando a través de la tierra y un LEO) son iguales? Estoy seguro de que hay alguna razón física fundamental por la que me estoy perdiendo aquí. Ayuda.

Es el resultado de la suposición (defectuosa) de una Tierra de densidad uniforme. La Tierra es cualquier cosa menos un objeto de densidad constante. El núcleo de la Tierra es cinco veces más denso que la superficie rocosa. La aceleración gravitacional alcanza un máximo de más de 10 m/s ² en el límite entre el núcleo y el manto, que está a poco menos de la mitad del centro de la Tierra. Un modelo de densidad uniforme implica que la aceleración gravitacional es aproximadamente la mitad del valor de la superficie a esta profundidad.

Un mejor modelo de la Tierra es asumir que la aceleración debida a la gravedad es una constante de 10 m/s ² desde la superficie hasta la mitad del centro de la Tierra y luego cae linealmente a cero en el centro de la Tierra. Esto produce un período de 76,41 minutos en lugar del período de 84,3 minutos de una órbita de 6371 km (obviamente ignorando la resistencia del aire).

Un modelo aún mejor es utilizar la integración numérica con el Modelo terrestre de referencia preliminar ( A. Dziewonski y D. Anderson (1981), "Modelo terrestre de referencia preliminar", Physics of the earth and planetary interiors 25:4, 297-356. ( datos tabulares en http://geophysics.ou.edu/solid_earth/prem.html )). Esto produce un período de 76,38 minutos, que está muy cerca del modelo simple descrito anteriormente.

El argumento de Phil Frost en su respuesta (v4) es correcto. Suponiendo una Tierra esférica con densidad constante$\rho$(y suponiendo por simplicidad que el objeto por alguna razón puede moverse libremente$^1$a través de la Tierra para que no haya arrastre de aire, y para que podamos omitir toda la perforación del túnel y no preocuparnos de que la rotación de la Tierra pueda presionar el objeto contra la pared del túnel; y suponiendo que usamos el sistema de coordenadas Earth-Centered Inertial ( ECI ), de modo que no hay fuerzas ficticias; etc.), entonces la ODE de valor vectorial 3D gobernante (derivada de las leyes de Newton ) es

Esta ODE (1) separa en tres SHO s independientes para el $x$,$y$y$z$coordenadas con período característico común

En particular, para una trayectoria arbitraria con$|{\bf r}|\leq R$(= radio de la Tierra esférica), el período es independiente de la posición inicial y la velocidad inicial.

--

$^1$Más precisamente: moverse libremente al margen de la gravedad.