¿Por qué esta relación alternativa de Fibonacci parece ser cierta?

Entonces, la relación normal de Fibonacci es famosa como sigue:

F 0 = 0 F 1 = 1 F norte = F norte − 1 + F norte − 2

Mi amigo parece haber descubierto esta relación alternativa que te permite saltar por 3 segundos, pero no puedo encontrarla en ningún otro lugar para confirmar por qué funciona.

F 0 = 0 F 3 = 2 F norte = 4 F norte − 3 + F norte − 6

Creo que es solo un caso de "simplificación", pero quería confirmarlo. ¿Este trabajo parece correcto?

F norte = F norte − 1 + F norte − 2 F norte = F norte − 2 + F norte − 3 + F norte − 2 F norte = 2 F norte − 2 + F norte − 3 F norte = 2 ( F norte − 3 + F norte − 4 ) + F norte − 3 F norte = 3 F norte − 3 + 2 F norte − 4 F norte = 3 F norte − 3 + F norte − 4 + F norte − 5 + F norte − 6 F norte = 4 F norte − 3 + F norte − 6

Editar: entiendo que no hace toda la secuencia de esta manera. Solo necesitábamos los términos pares para lo que estábamos trabajando. Es por eso que incluso dije que saltó por 3s. Para "arreglarlo", todo lo que necesita hacer es definir los primeros 6 de todos modos.

Luce bien para mi. Aunque necesitará más casos iniciales si desea obtener la secuencia completa mediante esta recursión (por ejemplo, simplemente especificando F 0 y F 3 no puedes decir que F 1 es).

Respuestas (3)

El polinomio característico de la nueva recurrencia es

t 6 − 4 t 3 − 1 = ( t 2 − t − 1 ) ( t 4 + t 3 + 2 t 2 − t + 1 ) = 0
de hecho tiene ϕ y − ϕ − 1 entre sus verdaderas raíces. Las cuatro raíces restantes son conjugadas complejas.

Todavía eres libre de configurar F 1 , F 2 , F 4 y F 5 , y no tienen que seguir la secuencia estándar de Fibonacci.

P.ej

0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , ⋯
contra
0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 8 , 12 , 17 , 34 , 51 , 72 , 144 , 216 , 305 , 610 , ⋯

buena respuesta (+1); ¿podría haber otra respuesta con matrices?
@JWTanner: probablemente, 6 × 6 .

Su derivación que F norte = 4 F norte − 3 + F norte − 6 es correcto ... así que esto es cierto para los números de Fibonacci.

Sin embargo, su formulación alternativa no define F 1 y F 2 , por lo que no puede llamarlo una formulación alternativa. E incluso si defines F 1 y F 2 , cuáles son F 4 y F 5 ?

De hecho, dado que la parte recursiva de su formulación hace referencia a F norte − 6 , necesita definir todos los valores 'base' F 0 a través de F 5 por separado para que esto funcione como una formulación alternativa.

Esa definición alternativa "olvida" los términos F norte cuando norte no es múltiplo de tres. Entonces F 5 , digamos, podría ser un elefante loco.

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