Potencias de matriz y relaciones de recurrencia

Sí, todas las relaciones de recurrencia lineal homogénea de coeficiente constante se pueden resolver de esta manera:
Sea$a_n=\alpha_{1}a_{n-1}+...+\alpha_{r}a_{n-r}$ser una relación de recurrencia con condiciones iniciales - dado$a_0,...,a_{r-1}$. Luego, observando que

$$\begin{pmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\a_{n-2}\\\vdots\\a_{n-r+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha_1&\alpha_2&\alpha_3&... &\alpha_{r-1}&\alpha_r\\ 1&0&0&...&0&0\\ 0&1&0&...&0&0\\ \vdots& &\ddots& &&\vdots\\ 0&0&0&...&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{n-1}\\a_{n-2}\\a_{n-3}\\\vdots\\a_{n-r}\end{pmatrix}$$ Denote esa matriz por $A$. Entonces vemos que $$\begin{pmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\a_{n-2}\\\vdots\\a_{n-r+1}\end{pmatrix}=A^{n-r} \begin{pmatrix}a_{r-1}\\a_{r-2}\\a_{r-3}\\\vdots\\a_{0}\end{pmatrix}$$ Así que tienes que subir $A$hacia $n$el poder de encontrar $a_n$.