Definiciones alternativas de secuencias 'similares a Fibonacci'

Comienza la sucesión de Fibonacci$F_1,F_2 = 1$con la relación de recurrencia$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$. Alternativamente, podemos decir$F_0 = 0$y$F_1 = 1$con la misma relación de recurrencia, y obtener la misma secuencia.

Estoy tratando de observar ciertos patrones en los números de Fibonacci 'generalizados' (relaciones de recurrencia de orden superior) donde los términos iniciales son similares. Sin embargo, estoy dividido entre:

1. Elegir varios$k$y centrándose en la secuencia$F_1,F_2,F_3 \dots$dónde$F_1,F_2 \dots F_k = 1$con la relación de recurrencia$F_n = \sum F_{n-i}$dónde$i$corre de$1$a$k-1$.
2. Elegir varios$k$y centrándose en la secuencia$F_1,F_2,F_3 \dots$dónde$F_1 = 1$y$F_0,F_{-1} \dots F_{-k+1} = 0$con la misma relación de recurrencia.

En el caso de$k=1$, cualquier método producirá los números de Fibonacci. En general, sin embargo, se producen dos secuencias diferentes.

Mi pregunta: ¿hay alguna razón por la que debería preferir estudiar clases de relaciones de recurrencia producidas por uno de los métodos anteriores sobre el otro? Específicamente, ¿alguno de los métodos anteriores produce clases de secuencias que comparten más propiedades con los números de Fibonacci que el otro? El término 'similar a Fibonacci' se menciona con frecuencia en la literatura, pero no tiene una definición concreta: ¿hay una preferencia en la literatura por uno de los métodos anteriores para generar secuencias similares a Fibonacci sobre el otro?