extraña recurrencia de fibonacci

Como es bien sabido los números de fibonacci satisfacen la relación de recurrencia

F norte = F norte − 1 + F norte − 2
con condiciones iniciales F 0 = 0 y F 1 = 1 .

Mientras jugaba con números, noté la siguiente relación de recurrencia para los números de Fibonacci

F norte = 4 F norte + 1 + F norte − 4 − ( 2 F norte + 2 + F norte − 2 )
Valido para norte ≥ 4

¿Alguien puede disfrutar el desafío de probar esta simple relación?

eso es claramente falso. 24 F norte + 2 es mucho más grande que todos los otros términos agregados.
Algo anda mal allí; norte = 4 rendimientos 3 = − 173 .
Sí, son 2, fue un error tipográfico.

Respuestas (1)

Puede observarse que:

F norte − 4 = F norte − 2 − F norte − 3 = − F norte − 1 + 2 F norte − 2 = 2 F norte − 3 F norte − 1 = − 3 F norte + 1 + 5 F norte ,
F norte − 2 = F norte − F norte − 1 = − F norte + 1 + 2 F norte
y conduce a:
4 F norte + 1 + F norte − 4 − ( a F norte + 2 + F norte − 2 ) = 4 F norte + 1 − 3 F norte + 1 + 5 F norte − a F norte + 2 + F norte + 1 − 2 F norte = 2 F norte + 1 − a F norte + 2 + 3 F norte = ( 2 − a ) F norte + 2 + F norte .
Cuando a = 2 esto se reduce a
4 F norte + 1 + F norte − 4 − 2 F norte + 2 − F norte − 2 = F norte .
Cuando a = 1 esto se reduce a
4 F norte + 1 + F norte − 4 − F norte + 2 − F norte − 2 = L norte + 1
dónde L norte son los números de Lucas.

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