¿Por qué es imposible sincronizar los relojes a lo largo de un anillo globalmente en un disco giratorio uniforme?

El problema está en cómo estás pensando en tomar$\theta_0 = 2 \pi$. En realidad, no puede hacer esto como lo ha descrito: no los he resuelto yo mismo, pero espero que las fórmulas que enumera para$t_2$y$t_3$asumir$\theta_0$es muy pequeño. para un general$\theta_0$, algunas funciones trigonométricas involucradas en el cálculo de la distancia que la señal de luz termina viajando (según$I$) debe aparecer. De hecho, si Liza y Millhouse están separados por$\Delta \theta = \theta_0 = 2\pi$, entonces los eventos$x_1, \, x_2, \, x_3$son todos iguales, por lo que$t_1 = t_2 = t_3 = 0$.

Supongo que lo que realmente quieres hacer es considerar$n$observadores$O_k$espaciados uniformemente alrededor del ring, y pídales que realicen el siguiente procedimiento para sincronizar sus relojes: en el evento$x_1 = (0,R,0,0)$,$O_1$envía una señal a$O_2$, quien lo recibe en$x_2$e inmediatamente lo refleja mientras envía simultáneamente una nueva señal a$O_3$, quien lo recibe en$x_3$y refleja la nueva señal de vuelta a$O_2$mientras simultáneamente envía otra señal a$O_4$, y así sucesivamente hasta$O_n$, quien recibirá una señal de$O_{n-1}$en el evento$x_n$e inmediatamente lo refleja mientras envía una señal a$O_1$, que recibe (y lo refleja) en el evento$x_{n+1}$, completando el bucle.

Podemos imaginar esto como un solo rayo de luz que se dobla alrededor de la circunferencia del bucle, que se refleja parcialmente por un divisor de haz en las posiciones$\theta_k = (k-1)\Delta \theta$(dónde$\Delta \theta = 2 \pi/n$) de cada uno de nuestros observadores. De esta manera, tenemos$n+1$eventos$x_k$en el que se emiten/reflejan las señales. Denotemos por$\bar{x}_k$(para$1 \leq k \leq n$) el evento en el que$O_k$recibe el reflejo de la señal que enviaron a$O_{k+1}$en el evento$x_k$.

En el límite de grandes$n$, podemos aplicar sus fórmulas para encontrar el$t$Coordinación de todos nuestros eventos:

$$t_k = \frac{R}{c} \frac{(k-1) \Delta \theta}{1+v / c} \quad \quad \bar{t}_{k} = t_k + 2 \frac{R}{c} \frac{ \Delta \theta}{1-v^{2} / c^{2}}.$$

Ahora para$1 \leq k \leq n-1$, observador$O_k$puede indicar a$O_{k+1}$cambiar su reloj para asignar un evento$x_{k+1}$la coordenada de tiempo sincronizada$s_{k+1}$definido por$s_1 = 0$y la relación de recurrencia

$$s_{k+1} = s_k + \frac{\bar{t}_k-t_k}{2 \gamma},$$

que por supuesto produce

$$s_k = \frac{R}{c} \gamma (k-1) \Delta \theta = \frac{k-1}{n} \left( \frac{R}{c} 2 \pi \gamma \right).$$

Esto funciona muy bien hasta ahora, ya que cada uno de nuestros observadores ha ajustado sus relojes para que estén de acuerdo con sus vecinos sobre los tiempos de recepción de su señal de luz compartida, y si los vecinos intercambian señales de luz nuevamente más tarde encontrarán que Todavía estás sincronizado. Cada uno de nuestros observadores, excepto dos: no hemos verificado si la sincronización es consistente con el tiempo$O_1$da al evento$x_{n+1}$cuando$O_n$y$O_1$intentar sincronizar.

De la misma forma que lo anterior,$O_n$instruye$O_1$asignar a$x_{n+1}$el tiempo sincronizado

$$s_{n+1} = \frac{R}{c} 2 \pi \gamma.$$ Pero$O_1$ya ha movido su reloj para que le asignen$s_1 = 0$a$x_1$, y desde entonces han visto un momento adecuado de$\Delta \tau = t_{n+1}/\gamma$transcurra, por lo que esto exige que asignen a$x_{n+1}$un momento

$$\tilde s_{n+1} = s_1 + \Delta \tau = \frac{t_{n+1}}{\gamma} = \frac{R}{c} 2 \pi \gamma (1-v/c),$$ y vemos que$\tilde s_{n+1} \neq s_{n+1}$(diferencia por un factor de$1-v/c$), por lo que la sincronización no se puede hacer globalmente coherente.

Su resultado (1) implica que un reloj$2\pi$radianes alrededor del disco en movimiento lee un tiempo diferente que el reloj en 0 radianes. Pero 0 radianes y$2\pi$radianes corresponden al mismo punto. Lo que significa que tiene dos relojes sincronizados que leen diferentes tiempos para el mismo evento.

Entonces, la sincronización tiene que tener una discontinuidad en alguna parte, similar a la línea de fecha internacional.

No puedo seguir su razonamiento, por lo que no puedo decir exactamente dónde se descompone, pero haré un punto general de la siguiente manera...

Siempre es posible sincronizar cualquier par de relojes adyacentes en SR, en el sentido de hacer que muestren la misma hora en el instante en que están juntos. Sin embargo, es imposible que un conjunto de relojes, cada uno de los cuales se mueve con respecto a los demás, esté sincronizado entre sí.

La razón es muy sencilla. La propiedad de estar sincronizados significa que los relojes muestran la misma hora en el mismo instante, pero dado que los relojes se mueven entre sí, no tienen un acuerdo común de lo que constituye 'el mismo instante'.

También debes tener en cuenta que hacer que pares de relojes muestren la misma lectura, no necesariamente refleja la realidad. Considere un tren largo que pasa a gran velocidad por una plataforma larga justo antes del mediodía. Hay relojes sincronizados a lo largo de la plataforma. Se les dice a los pasajeros que miren por la ventana y sincronicen su reloj con el reloj del andén más cercano cuando marque el mediodía. Al mediodía precisamente en el andén, todos los relojes del tren marcarán el mediodía; sin embargo, en el tren los relojes parecerán estar desincronizados, ya que el mediodía a lo largo del tren es un segmento de espacio-tiempo diferente al mediodía a lo largo del andén. El hecho de que haya manipulado los relojes para sugerir lo contrario es irrelevante.

Podría considerar la siguiente analogía. Suponga que tiene una línea de observadores a lo largo de una carretera plana separados por un par de metros, cada uno con un altímetro. Cada observador, por turno, configura su altímetro para que muestre la misma lectura que el siguiente, de modo que todos estén sincronizados y muestren la misma altura. Ahora considere el mismo procedimiento con cada observador en un balcón sucesivo en una torre. Ahora configurarán sus altímetros para mostrar la misma altura, aparentemente, pero en realidad sus configuraciones ahora no están sincronizadas con la realidad.

Su procedimiento para sincronizar relojes en movimiento circular es más bien como sincronizar altímetros en una rueda de la fortuna en la que cada persona configura su altímetro para que coincida con la lectura mostrada en el altímetro de la siguiente persona alrededor de la rueda.

No diría que es "imposible sincronizar relojes globalmente". Lo que se demostró en el OP es que el método de sincronización específico utilizado para los observadores que no giran no funciona para los observadores que giran. Con una ligera modificación, es posible sincronizar todos los relojes del círculo, en el sentido de que todos mostrarán la misma hora en el marco de referencia no giratorio después de la sincronización y permanecerán sincronizados (ver Sincronización de Einstein ) .

Todo lo que se necesita para que los relojes de Liza y Milhouse muestren la misma hora es que Milhouse ajuste la hora del evento.$e_2$no$\frac{\tau_3}{2}$, sino más bien$\frac{\tau_3}{2(1-v/c)}$. En este caso, tanto el reloj de Lisa como el de Milhouse mostrarán la misma hora en el marco de referencia no giratorio (que se puede verificar a partir de las ecuaciones para$t_2$y$t_3$en el OP). El procedimiento, repetido para todos los observadores en el círculo, haría que todos los relojes funcionaran sincrónicamente.

Nota: El procedimiento de sincronización descrito es consistente, ya que satisface las siguientes propiedades (ver wiki sobre sincronización de Einstein ):

(a) los relojes una vez sincronizados permanecen sincronizados,

(b1) la sincronización es reflexiva, es decir, cualquier reloj se sincroniza consigo mismo (se satisface automáticamente),

(b2) la sincronización es simétrica, es decir, si el reloj A está sincronizado con el reloj B, entonces el reloj B está sincronizado con el reloj A,

(b3) la sincronización es transitiva, es decir, si el reloj A está sincronizado con el reloj B y el reloj B está sincronizado con el reloj C, entonces el reloj A está sincronizado con el reloj C.