¿La fluctuación de densidad es continua en el superfluido?

El modo de densidad en un superfluido es, de hecho, sin espacios (de hecho, el modo de densidad en una fase normal también es sin espacios. Este modo se llama sonido).

La confusión surge porque para llegar al lagrangiano efectivo para$\theta$, tienes que integrar el modo de amplitud. Como resultado, el$\theta$parámetro en los pares lagrangianos efectivos a la densidad.

Posdata: la amplitud no está directamente relacionada con la densidad del superfluido$\rho_s$. La densidad del superfluido se define por

$$\vec\pi = \rho_s v_s + \rho_n v_n$$ dónde $\vec\pi$es la densidad de momento y $v_s= i\hbar\nabla\theta/m$es la velocidad del superfluido. Esto significa que $\rho_s$gobierna la respuesta en cantidad de movimiento a los gradientes de la fase. Experimentalmente, $\rho_s$se extrae midiendo las velocidades del primer y segundo sonido.

Los superfluidos son invariantes galileanos, por lo que es una buena idea comenzar con un modelo invariante galileano cuando se trata de comprender su dinámica. Por ejemplo el modelo de Gross-Pitaevski (GP) que proviene de la integral de acción

$$S[\phi, \phi^\dagger]= \int d^3x dt\left\{ \phi^\dagger (i \partial_t + \frac 1{2m} \nabla^2) \phi + \mu\phi^\dagger \phi -\frac 12 \lambda (\phi^\dagger\phi)^2\right\}.$$ es invariante galileano.

Esta acción contiene un potencial de sombrero mexicano.

$$V(\phi)= \frac 12 \lambda (\phi^\dagger\phi)^2-\mu \phi^\dagger\phi$$ que se minimiza en $\phi^\dagger\phi = \mu/\lambda$. Las posibles soluciones estacionarias son por lo tanto $$\langle\phi \rangle= \phi_c= e^{i\theta} \sqrt{\frac \mu \lambda}$$ En el modelo GP el $\rho$en $\phi= \sqrt{\rho} e^{i\theta}$ realmente es la densidad de partículas porque este modelo se aplica a temperaturas muy bajas cuando esencialmente todas las partículas están en el condensado. Entonces la densidad de partículas en el equilibrio es $\rho= \mu/\lambda$.

Si buscamos pequeñas oscilaciones$\phi=\phi_c+\eta$entonces

$$V(\phi+\eta) \sim const+ \mu \eta^\dagger \eta +\frac 12\mu (\eta^2+(\eta^\dagger)^2)+O(\eta^3)$$ y las ecuaciones de movimiento linealizadas se convierten en $$i\partial_t \eta = -\frac1{2m} \nabla^2 \eta +\mu\eta +\mu \eta^\dagger,\\ -i\partial_t \eta = -\frac1{2m} \nabla^2 \eta^\dagger +\mu\eta +\mu \eta^\dagger.$$ Si buscamos una solución $$\eta= a e^{ikx-i\omega t} +b^\dagger e^{-ikx+i\omega t}$$ encontramos eso $(a,b)^T$debe obedecer $$\left[\begin{matrix} k^2/2m =\omega +\mu & \mu\cr \mu & k^2/2m +\omega+\mu\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a \cr b\end{matrix}\right]=0,$$
por lo que las frecuencias permitidas están dadas por $$\omega^2 =(k^2/2m +\mu)^2 -\mu^2.$$ en pequeño $k$esto se convierte en $\omega^2=c^2k^2$con $c^2 =\lambda \rho_0 /m$. Estos modos son las ondas de sonido sin pausas. Durante el movimiento, la punta del $\phi$vector describe una elipse sobre el equilibrio $\phi_c$. Estos modos de sonido son, por lo tanto, una combinación de movimiento similar al de Goldstone a lo largo del fondo del pozo de potencial del sombrero mexicano y una oscilación radial desfasada radial "similar a la de Higgs". No hay modos circunferenciales "Goldstone" y radiales "Higgs" separados en el superfluido condensado de bosa no relativista. Los modos acoplados son ondas sonoras con una fluctuación de densidad $\rho_0\to \rho_0+\delta \rho$y una velocidad de ida y vuelta simultánea (en fase) dada por $v=\nabla\theta$.

Teníamos dos ecuaciones para$\eta$que fueron de primer orden en el tiempo. Podemos, si queremos, eliminar$\rho$para obtener una ecuación de onda de segundo orden que involucre solo$\theta$, o eliminar$\theta$para obtener una ecuación de onda que involucre sólo$\rho$--- pero no obtendremos una ecuación de segundo orden en el tiempo que involucre ambas variables. Tenga cuidado, sin embargo, las ecuaciones de onda linealizadas no son invariantes de Galileo. Además, centrarse sólo en las ecuaciones de movimiento corre el riesgo de descartar el$i\rho_0 \partial_t\theta$en la acción integral por ser derivada total. Este término de número de devanado topológico es esencial para la dinámica de vórtices donde es responsable del efecto Magnus. En su ausencia (como se preguntó recientemente en este sitio), una hélice no funcionaría en un superfluido.