¿Por qué el producto interno entre la corriente libre de divergencia J⃗J→\vec{J} y un campo de gradiente∇φ∇φ\nabla \varphi es cero?

Question

¿Por qué el producto interno entre la corriente libre de divergencia J⃗J→\vec{J} y un campo de gradiente∇φ∇φ\nabla \varphi es cero?

usuario50510

Leí un artículo que decía que el producto interno entre la corriente sin divergencia y un campo de gradiente es cero.

Una corriente superficial sin divergencia es $\nabla\cdot\vec{J}=0$ , y $\vec{J}$ podría representarse como $\vec{J}=\nabla\times(\psi\hat{n})$ , dónde $\hat{n}$ es el vector normal de la superficie. Entonces la declaración se convierte en: $\left( \nabla\times(\psi\hat{n}) \right) \cdot \nabla \varphi=0$ .

Creo que según la identidad:

\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})

$\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})$ tenemos

\nabla \times (ψ \hat{norte}) \cdot \nabla φ = \nabla \cdot (ψ \hat{norte} \times \nabla φ) + ψ \hat{norte} \cdot \nabla \times \nabla φ = \nabla \cdot (ψ \hat{norte} \times \nabla φ),

$\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot \nabla \varphi=\nabla\cdot(\psi\hat{n}\times\nabla\varphi)+\psi\hat{n}\cdot\nabla\times\nabla\varphi=\nabla\cdot(\psi\hat{n}\times\nabla\varphi),$ pero que sigue?

Actualizar Gracias Luboš Motl. Supongo que ahora entiendo por qué, pero no tengo suficiente reputación para responder a continuación, así que actualice aquí mi respuesta.

El objetivo es demostrar $\int_s \vec{J}\cdot\nabla\varphi ds=0$ Todo el proceso es el siguiente:

Primero, $\vec{J}$ no puede atravesar el borde de la superficie, por lo que $\vec{J}\cdot\hat{t}=0$ , dónde $\hat{l}$ es la dirección del borde de la superficie y $\hat{t}=\hat{l}\times\hat{n}$ es la dirección de salida del borde.

En segundo lugar, según la identidad

\nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B}),

$\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}) \, ,$ tenemos

\begin{aligned} \vec{j} \cdot \nabla φ & = \nabla \times (ψ \hat{norte}) \cdot \nabla φ \\ = \nabla \cdot (ψ \hat{norte} \times \nabla φ) + ψ \hat{norte} \cdot \nabla \times \nabla φ \\ = \nabla \cdot (ψ \hat{norte} \times \nabla φ) \end{aligned}

$\begin{align} \vec{J}\cdot\nabla\varphi &=\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot \nabla \varphi \\ &=\nabla\cdot(\psi\hat{n}\times\nabla\varphi)+\psi\hat{n}\cdot\nabla\times\nabla\varphi \\ &=\nabla\cdot(\psi\hat{n}\times\nabla\varphi) \end{align}$ desde

\nabla \times (F \vec{A}) = \nabla F \times \vec{A} + F (\nabla \times A)

$\nabla\times(f\vec{A})=\nabla{f}\times\vec{A}+f(\nabla\times A)$

ψ \hat{norte} \times \nabla φ = - \nabla \times (φ ψ \hat{norte}) + φ \nabla \times (ψ \hat{norte}) .

$\psi\hat{n}\times\nabla\varphi= -\nabla \times (\varphi\psi\hat{n}) + \varphi \nabla \times(\psi\hat{n}) \, .$ Entonces

\begin{aligned} \nabla \cdot (ψ \hat{norte} \times \nabla φ) & = \nabla \cdot (- \nabla \times (φ ψ \hat{norte}) + φ \nabla \times (ψ \hat{norte})) \\ = \nabla \cdot (φ \nabla \times (ψ \hat{norte})) \end{aligned}

$\begin{align} \nabla\cdot(\psi\hat{n}\times\nabla\varphi) &=\nabla\cdot(-\nabla\times(\varphi\psi\hat{n})+\varphi\nabla\times(\psi\hat{n})) \\ &=\nabla\cdot(\varphi\nabla\times(\psi\hat{n})) \end{align}$ Finalmente,

\begin{aligned} \int_{s} \vec{j} \cdot \nabla φ d s & = \int_{s} \nabla \times (ψ \hat{norte}) \cdot \nabla φ d s \\ = \int_{s} \nabla \cdot (φ \nabla \times (ψ \hat{norte})) d s \\ = \oint_{yo} φ \nabla \times (ψ \hat{norte}) \cdot \hat{t} d yo \\ = \oint_{yo} φ \vec{j} \cdot \hat{t} d yo \\ = 0 . \end{aligned}

$\begin{align} \int_s \vec{J}\cdot\nabla\varphi ds &=\int_s\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot \nabla \varphi ds \\ &= \int_s \nabla\cdot(\varphi\nabla\times(\psi\hat{n}))ds \\ &=\oint_l \varphi\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot\hat{t}dl \\ &=\oint_l \varphi\vec{J}\cdot\hat{t}dl \\ &=0 \, . \end{align}$

Creo que aquí las cosas importantes son:

En términos generales, la corriente libre de divergencia generalmente se puede expresar como $\vec{J}=\nabla\times\vec{T}$ , y $\vec{J}=\nabla\times(\psi\hat{n})$ es especial para corriente superficial.
el $\hat{n}$ solo es válido en la superficie (no tiene sentido $\hat{n}$ para el punto en el lado de un cuerpo). la integral está en la superficie y no en el cuerpo. Según el artículo original, solo se trata de PEC y corriente de superficie.

DanielSank

Esta pregunta fue extremadamente difícil de entender porque todo el TeX estaba mezclado y la puntuación y las mayúsculas eran esencialmente aleatorias. Tómese el tiempo para usar la puntuación adecuada en inglés, etc., para que las personas puedan entender lo que está preguntando. Edité las matemáticas, pero creo que las oraciones todavía están jodidas.

Respuestas (3)

¿Por qué el producto interno entre la corriente libre de divergencia J⃗J→\vec{J} y un campo de gradiente∇φ∇φ\nabla \varphi es cero?

Esta pregunta fue extremadamente difícil de entender porque todo el TeX estaba mezclado y la puntuación y las mayúsculas eran esencialmente aleatorias. Tómese el tiempo para usar la puntuación adecuada en inglés, etc., para que las personas puedan entender lo que está preguntando. Edité las matemáticas, pero creo que las oraciones todavía están jodidas.

Motl de Luboš · Answer 1

Una corriente sin divergencia sigue siendo un campo vectorial bastante general, por lo que su producto interno con otro campo general, un gradiente, seguramente no es cero en general.

Un contraejemplo trivial. $\psi n = (y/2,-x/2,0)$ . Entonces $\nabla\times (\psi n) = (0,0,1)$ . Por otro lado, el campo de gradiente puede ser $(0,0,1)=\nabla\cdot (0,0,z)$ y el producto interior de las dos unidades $z$ -los vectores de dirección no son cero en ninguna parte.

Lo que podría haber dicho la declaración que encontraste fue

\nabla \times (\nabla \cdot ϕ) = 0

$\nabla \times (\nabla\cdot \phi) = 0$ que es una de las identidades básicas que se pueden probar fácilmente.

Actualizar

El OP nos ha proporcionado la fuente y está claro que hicieron una declaración diferente y verdadera. El producto interno no estaba destinado a ser solo el producto simple de dos 3 vectores, sino el producto interno en el sentido del espacio de Hilbert.

b (\vec{tu}, \vec{v}) = \int d^{3} X \vec{tu} (X)^{*} \cdot \vec{v} (X)

$b(\vec u,\vec v) = \int d^3 x \, \vec u(x)^* \cdot \vec v(x)$ integrado en el espacio. Esto desaparece si

\vec{u}

$\vec u$ es múltiplo de un rizo y

\vec{v}

$\vec v$ es un múltiplo de un gradiente. Esto se ve trivialmente en el espacio de cantidad de movimiento donde es

b ({\vec{tu}}_{k}, {\vec{v}}_{k}) = \int d^{3} k A (\vec{k} \times \vec{B}) \cdot (C \vec{k} \cdot D)

$b(\vec u_k, \vec v_k) = \int d^3 k \, A(\vec k \times \vec B) \cdot (C\vec k \cdot D)$ Aquí,

k \times

$k\times$ surge del rizo y

\vec{k} \cdot

$\vec k\cdot$ surge del gradiente y la integral anterior se anula (el integrando se anula para cada

\vec{k}

$\vec k$ , en esta representación) porque

\vec{k} \cdot (\vec{k} \times \vec{M}) \equiv 0

$\vec k \cdot (\vec k \times \vec M) \equiv 0$ . La demostración análoga en el

x

$x$ -representacion requiere cierta integracion por partes.

Gracias LubošMotl. Estoy de acuerdo con usted. Debo malinterpretar la idea de los autores. Leí la declaración de este artículo: docs.lib.purdue.edu/cgi/… En la página 2, columna izquierda, al final del penúltimo párrafo, se menciona: '... Los dos problemas se solucionan fácilmente en este trabajo eliminando el componente de campo de gradiente del campo incidente y la función de Green al calcular sus productos internos con una corriente sin divergencia, ya que se sabe analíticamente que el producto interno entre una corriente sin divergencia y un campo de gradiente es cero.
Se menciona nuevamente en la página 5, alrededor de la ecuación 32 y la ecuación 33 '... Dado que $W_0$ representa una corriente sin divergencia, que se puede escribir como $\nabla\times\psi\hat{n}$ y por lo tanto $\hat{n}\times\nabla\psi$ con $\psi$ al ser un escalar, su producto interno con un campo de gradiente puede demostrarse analíticamente que es cero...'
OK, esa es una declaración diferente, @ usuario50510. El producto interno está destinado a ser la integral similar a la mecánica cuántica de los campos vectoriales sobre el espacio, no solo la función de producto escalar puntual del espacio. Vea mi respuesta actualizada para una prueba rápida.
gracias LubošMotl. Ahora entiendo por qué, pero parece que el proceso es un poco complicado, me pregunto si hay un proceso más fácil.
Puedes hacer una integración por partes para reducirla a cualquiera $\operatorname{curl} \operatorname{grad} = 0$ o $\operatorname{div}\operatorname{curl} = 0$ .

usuario50510 · Answer 2

pienso escribir $\nabla\times(\psi\hat{n})$ como $\nabla\psi\times\hat{n}$ es expresar la antisimetría entre $\varphi$ y $\psi$ y preparar el $\nabla\psi$ para $\vec{J}$ componente en la expresión final, haría un poco más claro obtener la respuesta, $\vec{J}\cdot\nabla\varphi=\underline{\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot \nabla \varphi}=(\nabla\psi\times\hat{n})\cdot\nabla\phi=\nabla\psi\cdot(\hat{n}\times\nabla\varphi)=\underline{-\nabla\psi\cdot\nabla\times(\varphi\hat{n})}$

y luego usar $\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})$ para incluir la expresión en el operador de divergencia superficial $\nabla\cdot()$ , entonces

- $\int_s\nabla\psi\cdot\nabla\times(\varphi\hat{n})ds=\int_s \nabla\cdot(\nabla\psi\times\varphi\hat{n})ds-\int_s\varphi\hat{n}\cdot\nabla\times\nabla\psi ds=\oint_l (\nabla\psi\times\varphi\hat{n})\cdot\hat{t}dl=\oint_l \varphi\vec{J}\cdot\hat{t}dl=0$

usuario50510 · Answer 3

OK, otro camino es presentar $\nabla\times(\psi\hat{n})\cdot\nabla\varphi=\nabla\psi\times\hat{n}\cdot\varphi=\hat{n}\cdot(\nabla\varphi\times\nabla\psi)=\hat{n}\cdot(\nabla\times(\varphi\nabla\psi)-\varphi\nabla\times\nabla\psi)=\hat{n}\cdot\nabla\times(\varphi\nabla\psi)$ , donde la identidad $\nabla\times(f\vec{A})=\nabla f\times\vec{A}+f\nabla\times\vec{A}$ se usa entonces con el teorema de Stokes $\int_s \nabla\times(\varphi\nabla\psi)\cdot\hat{n}ds=\oint_l \varphi\nabla\psi\cdot d\vec{l}=\oint_l \varphi\nabla\psi\cdot(\hat{n}\times\hat{t})dl=\oint_l \varphi\nabla\psi\times\hat{n}\cdot\hat{t}dl=\oint_l \varphi\vec{J}\cdot\hat{t}dl=0$

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