¿Cómo probar que la cantidad que aparece en el exponente de la integral de trayectoria es la lagrangiana?

En la Teoría cuántica del campo en pocas palabras de Zee , se muestra que, si$H = \frac{\hat{p}^2}{2m}$, entonces

$$\begin{equation} \langle q_F | e^{-iHt} | q_I \rangle = \int e^{i\int \frac{1}{2}m\dot{q}^2 \, dt} Dq \end{equation}$$

y hay un comentario de que si$H = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(q)$entonces

$$\begin{equation} \langle q_F | e^{-iHt} | q_I \rangle = \int e^{i\int \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q) \, dt} Dq \end{equation}$$

Esto se puede probar fácilmente una vez que nos damos cuenta de que podemos aproximarnos$e^{(A + B)\delta t}$como$e^{A \delta t} e^{B \delta t}$en el límite donde$\delta t \to 0$.

y Zee concluye que la cantidad que aparece en la integral en el exponente es solo el Lagrangiano.

Tengo problemas para ver cómo derivar esto para hamiltonianos más complejos (o en general). Por ejemplo, generalicemos a 3 dimensiones y tomemos

$$\begin{equation} H = \frac{1}{2m} (\hat{\mathbf{p}} - e\mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}))^2 + e \varphi(\hat{\mathbf{x}}) \end{equation}$$

Si seguimos la derivación de Zee, debemos averiguar cómo evaluar la amplitud para propagarse desde$\mathbf{x}_j$a$\mathbf{x}_{j+1}$a tiempo$\delta t$,

$$\begin{equation} \left\langle \mathbf{x}_{j+1} \left| \ \exp\left(-i \, \delta t \, \left[\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}^2 - e\mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}) \cdot \hat{\mathbf{p}} - e\hat{\mathbf{p}} \cdot \mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}) + e^2 \hat{\mathbf{A}}^2(\hat{\mathbf{x}})) + e \varphi(\hat{\mathbf{x}})\right]\right) \ \right| \mathbf{x}_j \right\rangle = \, ? \end{equation}$$

Ahora estoy atascado. Podemos considerar nuevamente los términos que aparecen en el exponente por separado, pero no tengo idea de cómo evaluar algo de la forma$\langle \mathbf{x}_{j+1} | \exp(ik \hat{\mathbf{p}} \cdot \mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}})) | \mathbf{x}_j\rangle$.

Sé que, en general, multiplicar el operador de momento por una constante y luego tomar la exponencial produce un operador de traducción, pero no creo que eso sea válido aquí porque en lugar de una constante tenemos$A(\hat{x})$, un operador que no conmuta con$\hat{p}$. Sin embargo, resulta que si pretendemos que esto funciona, obtenemos la respuesta correcta. Pero esto debe ser suerte... ¿verdad?

De manera más general, es difícil ver cómo la evaluación de estas amplitudes puede, en general, realizar una transformación de Legendre en el hamiltoniano. ¿Por qué este procedimiento debería poder extraer la derivada necesaria de$H$con respecto a$p$?