¿Por qué el hamiltoniano de un lagrangiano que consta solo de un término acoplado se vuelve cero?

Question

¿Por qué el hamiltoniano de un lagrangiano que consta solo de un término acoplado se vuelve cero?

Física
hamiltoniano
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

xabdax

Digamos que nuestro Lagrangiano se parece a esto:

\begin{matrix} (1) & L = \int d z q \cdot \dot{A}, \end{matrix}

$L = \int dz\, Q\cdot \dot{A},\tag{1}$

dónde $Q$ y $A$ son dos coordenadas generalizadas y $\dot{Q}$ y $\dot{A}$ serían las respectivas derivadas temporales. Si quisiera transformar esto en Legendre, entonces considerando los momentos conjugados

\begin{matrix} (2) & {PAG}_{q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0 \end{matrix}

$P_Q = \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} = 0\tag{2}$ y

\begin{matrix} (3) & {PAG}_{A} = \frac{\partial L}{\partial \dot{A}} = q \end{matrix}

$P_A = \frac{\partial L}{\partial \dot{A}} = Q\tag{3}$ el hamiltoniano se convierte en:

\begin{matrix} (4) & H = {PAG}_{q} \dot{A} - L = \int d z q \cdot \dot{A} - q \cdot \dot{A} = 0. \end{matrix}

$H = P_Q\dot{A}-L= \int dz\,\, Q\cdot \dot{A} - Q\cdot \dot{A} = 0.\tag{4}$

¿Es esto correcto? ¿Qué significa eso para el sistema físico?

AccidentalFourierTransformar

posibles duplicados: ecuación de Dirac como sistema hamiltoniano , ¿por qué el hamiltoniano es cero en relatividad? , mi hamiltoniano para un rayo de luz se desvanece .

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¿Por qué el hamiltoniano de un lagrangiano que consta solo de un término acoplado se vuelve cero?

posibles duplicados: ecuación de Dirac como sistema hamiltoniano , ¿por qué el hamiltoniano es cero en relatividad? , mi hamiltoniano para un rayo de luz se desvanece .

qmecanico · Answer 1

Recuerde que el propósito de la transformación de Legendre del formalismo lagrangiano al hamiltoniano es llevar las ecuaciones de movimiento a la forma de primer orden. Aquí es donde el método Faddeev-Jackiw es mucho más simple [que el análisis tradicional de Dirac-Bergmann que OP acaba de realizar]: OP's Lagrangian $Q\dot{A}$ ya está en forma de primer orden $p\dot{q}-H$ si nos identificamos

q = A, pag = q, H = 0!

$q~=~A,\qquad p~=~Q,\qquad H~=~0~!$ Un hamiltoniano que se desvanece significa que todas las variables del espacio de fase son constantes de movimiento. Refleja la invariancia de reparametrización de línea mundial (WL) de la acción, cf. por ejemplo , esto y esto relacionados Phys.SE puestos.

¿Qué significa esto para el sistema físico? Si el hamiltoniano es cero, ¿la energía no es también cero?

¿Por qué el hamiltoniano de un lagrangiano que consta solo de un término acoplado se vuelve cero?

xabdax

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