Hamiltoniano para un péndulo de longitud variable

Esta pregunta está tomada del libro "Dinámica clásica de partículas y sistemas" - Marion, problema 7.24. El problema se trata de un péndulo que se pone en movimiento, su longitud varía a un ritmo constante

$$\frac{dl}{dt} = - \alpha.$$ Se le pide al lector que calcule el Lagrangiano, el Hamiltoniano y discuta la conservación de la energía. Calculando el Lagrangiano obtenemos: $$L = T - U = \frac{1}{2}m(\dot{l}^2 + l^2\dot{\theta}^2) + mgl\cos{\theta} = \frac{1}{2}m(\alpha^2 + l^2\dot{\theta}^2) + mgl\cos{\theta}.$$ Ahora, podemos encontrar los momentos generalizados tanto para $\theta$y $l$: $$p_{\theta} = \frac{\partial L}{ \partial \dot{\theta}} = ml^2\dot{\theta}$$ $$p_{l} = \frac{\partial L}{ \partial \dot{l}} = m\dot{l} = -m\alpha.$$ Ahora que tenemos los momentos generalizados podemos escribir el hamiltoniano siguiente: $$H = \sum_i p_i\dot{q_i} - L = \frac{p_{\theta}^2}{2m l^2} + \frac{p_{l}^2}{2m}- mgl\cos{\theta}.$$ Pero, según el libro, el hamiltoniano es en realidad igual a: $$H = \sum_i p_i\dot{q_i} - L = \frac{p_{\theta}^2}{2m l^2} - \frac{p_{l}^2}{2m}- mgl\cos{\theta}.$$ Este resultado básicamente ignora el término $p_l\dot{l}$. ¿Por qué?