¿Por qué el espacio-tiempo es cuatridimensional?

Las cuatro dimensiones están presentes en ambos ejemplos. Todo lo que quiere decir cuando dice que el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones es que necesita cuatro números para describir cuándo y dónde ocurre un evento.

La trayectoria de una partícula es una cadena de tales eventos: la pelota está a una pulgada por encima de mi mano, la pelota está a dos pulgadas por encima de mi mano, la pelota está en su punto máximo, está a dos pulgadas por encima de mi mano, etc.

Lo novedoso de describir los dos marcos de referencia que haces es que en uno, la pelota solo viaja verticalmente y en el tiempo, mientras que en el segundo, también tiene un componente horizontal en su movimiento.

Tenga en cuenta que en su ejemplo de tren-pelota, puede suceder que en un cuadro particular, el movimiento de un objeto esté restringido a, por ejemplo, una línea recta, y que en otro cuadro, el movimiento sea más complicado, pero no hay marco en el que el movimiento de la pelota de repente se vuelve "espacialmente$n$-dimensional" para algunos$n>3$. Cambiar marcos solo significa que el movimiento de la pelota a través del espacio tridimensional se verá diferente en 3 dimensiones. Dicho de otra manera,

El número de dimensiones suficientes para describir la posición espacial de una partícula según cualquier observador inercial único es precisamente tres.

Cuando uno hace la transición a la relatividad, una declaración análoga es verdadera;

El número de dimensiones suficientes para describir la posición en el espacio-tiempo de una partícula según cualquier observador inercial único es precisamente cuatro.

En cuanto a los cuatro impulsos y otros vectores similares, puede darse el caso de que en un marco particular, uno de los componentes del vector desaparezca; el cambio de marco altera los valores de los componentes vectoriales en general, pero nunca agrega mágicamente un componente adicional. La descripción fundamental de 4 dimensiones sigue siendo suficiente para todos los observadores.

Para reformular lo que las otras respuestas ya están diciendo de una manera diferente:

El espacio y el tiempo juntos siempre fueron de 4 dimensiones, incluso antes de la relatividad. Se entendía que había 3 dimensiones espaciales y 1 dimensión temporal.

Sin embargo , la física anterior a la RS asumía que el tiempo transcurría de manera universal para todas las ubicaciones y todos los marcos de referencia de la misma manera. Como resultado, se podría decir que los objetos "se mueven a través del tiempo" y tienen una "coordenada de tiempo" para cuando les sucedió algo, pero esta información a menudo se puede pasar por alto. Es decir, cambiar los marcos de referencia alteraría la descripción espacial de los eventos pero nunca la descripción temporal , entonces, ¿por qué preocuparse por eso?

Cuando apareció la relatividad, el cambio clave en el pensamiento no fue solo incluir el tiempo en las descripciones de las cosas. Más bien era cómo transformar un vector de 4 en otro al cambiar los marcos de referencia.

• Podría hacer algo ingenuo y simplemente hacer una transformación lineal de los componentes espaciales de acuerdo con la velocidad del nuevo marco en relación con el anterior, dejando el tiempo intacto. Esta sería una transformación de Galileo .
• O podría emplear una regla más complicada, específicamente la de la transformación de Lorentz , que inherentemente mezcla el espacio y el tiempo.

Resulta que la naturaleza sigue la segunda opción, y eso describe con precisión lo que sucede. Si no se utilizan las 4 dimensiones, a menudo falta algo.

Su pregunta podría responderse con álgebra pura: el movimiento relativo de un punto de objeto n-dimensional$y$con respecto a un marco de referencia n-dimensional$x$en su forma más general se describe mediante el producto exterior bilineal (el jacobiano) de un operador diferencial n-dimensional con las coordenadas del punto del objeto:$\frac{d}{dx} \otimes y$. Este jacobiano es un$n\times n$matriz, pero debe ser parte del mismo espacio n-dimensional que los vectores, de lo contrario el movimiento de un movimiento ya no sería un movimiento. Por lo tanto, necesitamos un espacio en el que exista un producto vectorial completo bilineal, tal que$\frac{d}{dx} \otimes y = z$, en donde$x$,$y$, y$z$son vectores del mismo espacio, y donde la longitud del producto de dos vectores es igual al producto de las longitudes de los vectores. Como demostró A. Hurwitz en 1898, sólo hay cuatro espacios posibles con estas propiedades, destacando los números reales$\mathbb{R}$(caso trivial); los numeros complejos$\mathbb{C}$; los cuaterniones$\mathbb{H}$, y los octoniones$\mathbb{O}$. Excepto por los números reales.$\mathbb{R}$, los otros espacios tienen métricas negativas:$\mathbb{C} (+1,-1)$;$\mathbb{H} (+1,-1,-1,-1)$;$\mathbb{O} (+1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)$. La métrica del espacio de cuaterniones.$\mathbb{H}$es la métrica del espacio-tiempo. La Relatividad Especial se desprende inmediatamente de esta métrica, así como las ecuaciones de Maxwell y la naturaleza ondulatoria de cualquier desplazamiento en este espacio (fundamentos de la mecánica cuántica). He escrito un pequeño artículo sobre esto: "De la réalité des nombres", Bulletin de la société Fribourgeoise des Sciences Naturelles, 103 (2014), p. 83-90; en línea bajo:

http://dx.doi.org/10.5169/seals-513866

PS: Entonces se debe asumir, por supuesto, que el éter luminífero existe, pero que el experimento de Michelson & Moorley no pudo detectar ningún viento de éter, porque fue concebido para un espacio euclidiano tridimensional con métrica$(+1,+1,+1)$. El viento del éter en$(+1,-1,-1,-1)$¡el espacio aparece más bien como campos eléctricos y magnéticos! Hay más fuerzas en la física de partículas que la mera electromagnética, pero es probable que el espacio-tiempo en estas pequeñas dimensiones sea de 8 dimensiones, con métrica$(+1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)$. La pregunta de por qué las dimensiones y fuerzas adicionales no aparecen a escala macroscópica está fuera del alcance actual.

@JerrySchirmer: Ya casi estoy. Mi problema es que me cuesta entender algo si no puedo conceptualizarlo, aunque tal vez esto no se pueda conceptualizar, simplemente aceptar, en cuyo caso les agradezco su paciencia. El problema al que me enfrento ahora en mi mente "conceptual" engañosa es que cuando dices "dilataciones y contracciones de longitud" no puedo evitar pensar que en realidad hay muchas otras cosas que le suceden al tiempo además de las dilataciones y las contracciones. . Cuando observamos la deformación del espacio-tiempo, vemos que tanto el espacio como el tiempo se deforman de formas fantásticas. El tiempo no sólo está dilatado, sino también "aplastado", "torcido" y curvado. De hecho, en la definición de Einstein de la gravedad, el espacio-tiempo "gira" hacia el centro de grandes masas, porque la masa está literalmente deformando tanto el tiempo como el espacio. Por definición, es un proceso tridimensional.

Para describir un punto en una línea, necesitamos un número. Para describir un punto en una curva necesitamos dos números. Para describir un punto en una "curva curva" como una hélice, necesitamos tres números (uno para cada uno de los componentes de alto, ancho y profundidad). Si el camino viaja en una pista de tiempo unidimensional, en otras palabras, a lo largo de una "línea" de tiempo, necesitaríamos un cuarto número para describir su posición en el tiempo. Pero si la ruta se curva a través del tiempo, entonces también hay un componente horizontal en el tiempo, entonces, ¿cómo es posible que no necesitemos 2 números para registrar un punto en esa pista arqueada? Una vez más, me disculpo por la imaginación obstinada.

Einstein habla de la curvatura del tiempo. Aquí está mi principal deseo: por favor, explícame cómo es posible trazar un punto en un camino curvo usando un número.

¿Hay alguna manera de que yo entienda tal proceso conceptualmente, o simplemente debo aceptarlo?

Pero también, como muestra la definición de gravedad de Einstein, la masa deforma tridimensionalmente tanto el espacio como el tiempo. ¿No se imaginó que la línea curva del tiempo también se doblaba simultáneamente? lo que significa que tiene un componente vertical, un componente horizontal y un componente de profundidad, ya que está deformado por la gravedad. entonces, para trazar un punto en el tiempo, debemos tener 3 números adicionales. 3 para la posición en el espacio y tres para la posición en el tiempo. Así que no tengo ningún problema en dejar atrás la idea de 5 o más dimensiones, aunque ¿es entonces incorrecto para mí pensar en sistemas de gravedad 3D contenidos dentro de sistemas de gravedad 3D más grandes mientras contienen sistemas 3D más pequeños, cuando pienso en los planetas en un sistema solar? sistema en una galaxia?

Aunque de nuevo, mi principal deseo es que esta pregunta sea respondida:

Si el tiempo contiene curvatura, y si una trayectoria curva requiere al menos dos números para graficarse, ya que tiene un componente vertical y un componente horizontal, entonces, ¿cómo se grafica el tiempo con un número?

PD: quería usar la sección de comentarios para responder, pero no había suficiente espacio.

Tomemos el principio de su pregunta.

Así como el vector de tres dimensiones localiza una posición en el espacio,$(x,y,z)$se generaliza a un vector de 4 dimensiones$(x, y, z, ct)$eso incluye el tiempo, podemos generalizar la mayoría de nuestros vectores de 3 dimensiones a 4 vectores.

Las tres dimensiones del impulso se convierten en$(p_x, p_y, p_z, E/c)$. El cuarto componente de este vector es la energía. El vector de fuerza se convierte en 4 vector con potencia como el 4º componente.

El momento angular es complicado. Cuando lo generalizamos, en lugar de un vector de 4, obtenemos una matriz de 4x4 con 6 entradas únicas. Están los 3 componentes originales de momento angular y 3 tipos nuevos.

Obtenemos una matriz de 4x4 cada vez que toma un 'producto cruzado' de dos 4 vectores.

Los 3 componentes del campo eléctrico y los 3 componentes del campo magnético se combinan en una matriz similar de 4x4. También lo hacen los dipolos eléctricos y magnéticos.