¿Por qué el espacio de estados qudit puros tiene dimensión 2(D−1)2(D−1)2(D-1), en lugar de D2−2D2−2D^2-2?

El conteo espacial de Hilbert que obtiene$2D-2$es correcto. Cuando pensamos en el conteo de parámetros de la forma en que lo hizo en esta pregunta, asumimos implícitamente que las ecuaciones son lo suficientemente "genéricas" para que las intersecciones funcionen como lo hacen en el álgebra lineal. Este no siempre es el caso, particularmente cuando consideramos ecuaciones con singularidades o que se definen en espacios con fronteras. Para un ejemplo extremo, en un sistema normado$N$-espacio vectorial real dimensional, la ecuación$|\vec v|^2 = 0$es una sola ecuación, pero reduce la$N$-espacio dimensional hasta un solo (aparentemente$0$-dimensional) punto.

Cuando escribimos la ecuación$\text{Tr} \rho^2 = 1$, está sucediendo una versión un poco más complicada de lo mismo. Si diagonaliza el operador de densidad, obtendrá un conjunto de$D$valores propios reales$\lambda_i$. Estos deben ser no negativos para un operador de densidad. Además, sabemos que$\rho$tiene traza unitaria, lo que significa que$\sum_i \lambda_i = 1$. Esto significa que cada$\lambda_i \in [0,1]$. Bajo estas condiciones,$\lambda_i \ge \lambda_i^2$con igualdad solo para$\lambda_i \in \{0,1\}$. De este modo$\text{Tr} \rho^2 = \sum_i \lambda_i^2 \le \text{Tr} \rho = 1$, y los dos son iguales sólo si todos los$\lambda_i$son ambos$0$o$1$, lo que significa que exactamente uno es$1$y los otros son$0$. Tenga en cuenta que esto es sólo decir que$\rho$es una proyección sobre el vector propio único con valor propio$1$, significa que$\rho = | \psi \rangle \langle \psi |$para algunos$|\psi\rangle$.

Notemos también que, en general, el límite del conjunto de estados mixtos no es el conjunto de estados puros. Estar en el límite significa que (solo) una desigualdad se convierte en igualdad, lo que significa que solo necesitamos una $\lambda_i = 0$. Ser un estado puro es una condición mucho más fuerte. Creo que esto puede ser parte de su confusión ya que el límite del conjunto de estados mixtos tiene una dimensión$D^2 - 2$. La esfera de Bloch es un ejemplo inútil en este caso, porque dado que el espacio de Hilbert es solo$2$dimensional, un valor propio va a$0$ es equivalente a ser un estado puro, pero para mayor$D$eso no es verdad.

Tenga en cuenta que esto todavía parece que solo impone$D$ecuaciones reales, a saber, una por valor propio, lo que significa que el conteo ingenuo de la dimensión todavía parece ser incorrecto. ¿Porqué es eso? La respuesta está ligada al hecho de que nuestro resultado final tiene una degeneración; específicamente tenemos$D-1$vectores propios de$\rho$con valor propio$0$. Así, el sistema, así descrito, tiene un ficticio$U(D-1)$simetría rotando esos vectores. Si aplica tal rotación, el operador de densidad no cambia, pero nuestro conteo ingenuo no se daría cuenta de eso. Pensaríamos que deberíamos restar la dimensionalidad de$U(D-1)$, a saber$(D-1)^2$. Pero esto$U(D-1)$no actúa libremente; una transformación que sólo cambia la fase de un determinado$|\psi_i \rangle$hojas$|\psi_i \rangle \langle \psi_i |$invariante, lo que significa que cualquier base para el espacio de Hilbert está estabilizada por$U(1)^{D}$, por lo que en realidad solo tenemos$(D-1)^2 - D$Redundancias de ecuaciones reales. Ahora finalmente podemos obtener el conteo correcto:

$$(D^2 - 1) - D - ((D-1)^2 - D) = 2D-2.$$

El "truco" que hace que este conteo funcione, mientras que el conteo más ingenuo falla, es que todas estas ecuaciones pueden imponerse en el espacio afín de los operadores de traza unitaria de clase de traza sin requerir una semidefinición positiva y aun así obtener el conjunto correcto de puros estados La semidefinición positiva es el conjunto de desigualdades que limita el espacio de estados mixtos, y si no lo imponemos no tenemos los problemas que surgen antes donde las soluciones de las ecuaciones están en el límite del espacio.

Puede llegar a la conclusión correcta a partir de

$$\vert 1\rangle=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array}\right)$$ y la matriz de densidad simple $\rho_1=\vert 1\rangle\langle 1\vert$. Claramente, $\rho_1$se deja invariante por todas las transformaciones del tipo $$T= \left(\begin{array}{cc} e^{i\phi}&0\\ 0&U(n-1)\end{array}\right)$$ es decir $T\rho_1 T^{-1}=\rho_1$. Una transformación general de $\rho_1$por matrices unitarias depende de $n^2-1$parámetros: $U(n)$tiene $n^2$parámetros pero una fase global dejará $\rho_1$invariante. La transformación $T$depende de $(n-1)^2$parámetros Así, el total de parámetros para especificar un $n$-dit es $$n^2-1 - (n-1)^2 = 2n-2.$$