¿Por qué el escalar de Ricci es distinto de cero en este caso?

Las ecuaciones de Einstein se pueden escribir como (1):

R a b − 1 2 R gramo a b = − 8 π GRAMO T a b

o contrayendo la ecuación anterior con el tensor métrico y reemplazando: (2)

R a b = 8 π GRAMO ( 1 2 T gramo a b − T a b ) .

En el vacío, la ecuación (1) se reduce a R a b − 1 2 R gramo a b = 0 y la ecuación (2) se reduce a R a b = 0 , lo que implica que en el vacío, R = 0 .

Sin embargo, si calculo explícitamente R para una onda plana de la forma

h a b = A a b Exp ⁡ ( i k X )
(la métrica de Minkowski η a b perturbado por h a b ), Yo obtengo:
R = k a k b h a b − k λ k λ h     ,
dónde h = η a b h a b , que parece una especie de ecuación de onda, pero es distinta de cero. se supone que debe ser 0 pero no es. ¿Por qué?

El escalar de Ricci es cero para una onda gravitatoria, como lo es cualquier escalar de curvatura. Véase Hans-Juergen Schmidt, "¿Por qué desaparecen todas las invariantes de curvatura de una onda gravitatoria?" arxiv.org/abs/gr-qc/9404037 . El hecho de que obtenga un escalar de Ricci que no se desvanece nos dice que su métrica no es una onda gravitacional en el vacío, o que cometió un error en su cálculo.

Respuestas (1)

Las ondas gravitacionales son transversales y viajan a lo largo de rayos nulos. Así, tienes que tener k a h a b = 0 y k a k a = 0 . (Más exactamente, la condición de transversalidad puede verse como una condición de calibre: siempre podemos aplicar un difeomorfismo local tal que esta primera condición sea verdadera). He hecho todo correctamente. Pero una métrica de onda completamente arbitraria con una polarización arbitraria h a b y vector de propagación k a no satisfará, como ha descubierto, la ecuación de Einstein en el vacío.

mmm pero R es calibre invariante, por lo que no debería necesitar imponer ninguna condición de transversalidad para garantizar que desaparezca, ¿verdad? ¿Que me estoy perdiendo aqui?
Es como las ecuaciones de Maxwell implican que las polarizaciones de los fotones son transversales.
@AccidentalFourierTransform El ansatz de onda plana dado en la pregunta es solo una solución a las ecuaciones de Einstein de vacío (linealizadas) en calibre transversal . Si nos salimos de este indicador, la forma de la métrica cambia, y así R recoge términos adicionales que cancelan el ahora que no desaparece k a h a b .
¿Por qué el escalar de Ricci es distinto de cero en este caso?
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