¿Por qué desaparecen algunos de los términos del gradiente del producto escalar entre la velocidad y el potencial del vector magnético?

Question

¿Por qué desaparecen algunos de los términos del gradiente del producto escalar entre la velocidad y el potencial del vector magnético?

james lento

Al usar las ecuaciones de Euler-Lagrange para producir la fuerza de Lorentz, uno de los términos termina pareciéndose a esto

\partial L / \partial r = q (\nabla (v \cdot A) - \nabla ϕ) = q (v \times (\nabla \times A) + (v \cdot \nabla) A - \nabla ϕ)

$∂L/∂r =q(∇(v⋅A)−∇ϕ) =q(v×(∇×A)+(v⋅∇)A−∇ϕ)$ Dónde

v

$v$ es la velocidad y

A

$A$ es el vector potencial magnético

El gradiente del producto escalar es igual a,

\nabla (a \cdot b) = (a \cdot \nabla) b + (b \cdot \nabla) a + a \times (\nabla \times b) + b \times (\nabla \times a)

$∇(a⋅b)=(a⋅∇)b+(b⋅∇)a+a×(∇×b)+b×(∇×a)$ Entonces a la ecuación le faltarían los términos en negrita

\partial L / \partial r = q (\nabla (v \cdot A) - \nabla ϕ) = q (v \times (\nabla \times A) + (v \cdot \nabla) A + (A \cdot \nabla) v + A \times (\nabla \times v) - \nabla ϕ)

$∂L/∂r=q(∇(v⋅A)−∇ϕ)=q(v×(∇×A)+(v⋅∇)A+(\mathbf{A⋅}\mathbf{∇})\mathbf{v}+\mathbf{A}\mathbf{×}(\mathbf{∇×}\mathbf{v})−∇ϕ)$ ¿A qué se debe que estos términos ausentes desaparezcan?

garyp

Tal vez: la velocidad aquí no es un campo vectorial, ¿entonces las derivadas no tienen ningún significado?

Respuestas (1)

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Tal vez: la velocidad aquí no es un campo vectorial, ¿entonces las derivadas no tienen ningún significado?

david hamen · Answer 1

Estás ignorando que estás trabajando en el $2N+1$ espacio de fase dimensional $\{\boldsymbol q, \boldsymbol {\dot q}, t\}$ . Es solo a lo largo del lugar geométrico de los puntos en este espacio de fase que satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange que $\boldsymbol {\dot q}$ es de hecho la derivada temporal de $\boldsymbol q$ . Hasta que llegue a esa solución, debe tratar $\frac{\partial \dot q_j}{\partial q_i}$ y $\frac{\partial q_j}{\partial \dot q_i}$ siendo idénticamente igual a cero. Esto significa que

\nabla (A \cdot v) = \sum_{i} {\hat{mi}}_{i} \frac{\partial}{\partial r_{i}} (\sum_{j} A_{j} {\dot{r}}_{j}) = \sum_{i} {\hat{mi}}_{i} \sum_{j} \frac{\partial A_{j}}{\partial r_{i}} {\dot{r}}_{j} \equiv {\hat{mi}}_{i} \frac{\partial A_{j}}{\partial r_{i}} {\dot{r}}_{j}

$\nabla (\boldsymbol A \cdot \boldsymbol v) = \sum_i \hat e_i \frac{\partial}{\partial r_i} \left(\sum_j A_j \dot r_j\right) = \sum_i \hat e_i \sum_j \frac{\partial A_j}{\partial r_i} \dot r_j \equiv \hat e_i \frac{\partial A_j}{\partial r_i} \dot r_j$ donde la doble suma está implícita en el término más a la derecha. Fíjate bien: no hay

A_{j} \frac{\partial {\dot{r}}_{j}}{\partial r_{i}}

$A_j \frac{\partial \dot r_j}{\partial r_i}$ términos.

Otra forma de ver esto: Usando $\partial/\partial q_i$ y $\partial/\partial \dot q_i$ es un abuso de notación en este contexto (y peor aún, usar $\nabla$ ) porque la velocidad generalizada generalmente varía con la posición generalizada a lo largo de la solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange. En otras palabras, $\nabla v$ no es idénticamente cero. Al igual que con otros abusos matemáticos de la notación, esta notación puede ser muy útil, pero te traerá problemas si no te das cuenta de que es un abuso de la notación.

¿Por qué desaparecen algunos de los términos del gradiente del producto escalar entre la velocidad y el potencial del vector magnético?

james lento

garyp

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david hamen

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