¿Por qué cuando se prueban identidades trigonométricas, uno debe trabajar en ambos lados de manera independiente?

Question

¿Por qué cuando se prueban identidades trigonométricas, uno debe trabajar en ambos lados de manera independiente?

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Matemáticas
trigonometría
redacción de pruebas

pedido

Suponga que tiene que probar la identidad trigonométrica:

\frac{pecado θ - {pecado}^{3} θ}{{porque}^{2} θ} = pecado θ

$\frac{\sin\theta - \sin^3\theta}{\cos^2\theta}=\sin\theta$

Siempre me han dicho que debo manipular los lados izquierdo y derecho de la ecuación por separado, hasta que los haya transformado en algo idéntico. Entonces yo haría:

\frac{pecado θ - {pecado}^{3} θ}{{porque}^{2} θ}

$\frac{\sin\theta - \sin^3\theta}{\cos^2\theta}$

= \frac{pecado θ (1 - {pecado}^{2} θ)}{{porque}^{2} θ}

$=\frac{\sin\theta(1 - \sin^2\theta)}{\cos^2\theta}$

= \frac{pecado θ ({porque}^{2} θ)}{{porque}^{2} θ}

$=\frac{\sin\theta(\cos^2\theta)}{\cos^2\theta}$

= pecado θ

$=\sin\theta$

Y luego, dado que el lado izquierdo es igual al lado derecho, he probado la identidad. Mi problema es: ¿por qué no puedo manipular toda la ecuación? En esta situación, probablemente no hará las cosas más fáciles, pero para ciertas identidades, puedo ver formas de "probar" la identidad manipulando toda la ecuación, pero no puedo probarla manteniendo ambos lados aislados.

Entiendo, por supuesto, que no puedo simplemente asumir que la identidad es verdadera. Si asumo un enunciado falso y luego derivo de él un enunciado verdadero, todavía no he probado el enunciado original. Sin embargo , ¿por qué no puedo hacer esto?

\frac{pecado θ - {pecado}^{3} θ}{{porque}^{2} θ} \neq pecado θ

$\frac{\sin\theta - \sin^3\theta}{\cos^2\theta}\not=\sin\theta$

pecado θ - {pecado}^{3} θ \neq (pecado θ) ({porque}^{2} θ)

$\sin\theta - \sin^3\theta\not=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$

pecado θ (1 - {pecado}^{2} θ) \neq (pecado θ) ({porque}^{2} θ)

$\sin\theta(1 - \sin^2\theta)\not=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$

(pecado θ) ({porque}^{2} θ) \neq (pecado θ) ({porque}^{2} θ)

$(\sin\theta)(\cos^2\theta)\not=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$

Dado que el último enunciado es obviamente falso, ¿no es esto una prueba por contradicción de que el primer enunciado es falso y, por lo tanto, la identidad es verdadera?

O, ¿por qué no puedo tomar la ecuación de identidad, manipularla, llegar a $(\sin\theta)(\cos^2\theta)=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$ , y luego trabaje hacia atrás para llegar a la identidad trigonométrica. Ahora, empiezo con una afirmación que es obviamente verdadera y deduzco otra afirmación (la identidad) que también debe ser verdadera, ¿no es así?

Otro argumento que he escuchado para mantener los dos lados aislados es que manipular una ecuación te permite hacer cosas que no siempre son válidas en todos los casos. Pero lo mismo es cierto cuando se manipula solo un lado de la ecuación. En mi primera prueba, el paso

\frac{pecado θ ({porque}^{2} θ)}{{porque}^{2} θ}

$\frac{\sin\theta(\cos^2\theta)}{\cos^2\theta}$

= pecado θ

$=\sin\theta$

no es válido cuando theta es $\pi/2$ , por ejemplo, porque entonces constituye una división por cero.

Jon

La razón principal podría ser simplemente pedagógica: es más complicado y más educativo trabajar con los dos lados de forma independiente.

Arturo Magidín

Otra razón es que se debe tener cuidado al trabajar en ambos lados. Si llega a una declaración falsa, no hay problema (ha hecho una prueba por contradicción); pero si llega a una declaración verdadera, debe asegurarse de que todos los pasos sean reversibles . Esto es algo de lo que mucha gente no se da cuenta y/u olvida. En lugar de invitar al error...

André Nicolás

Puede perder el control de la lógica de la situación. Incluso si no lo hace, y escribe un argumento perfectamente correcto, existe un grave riesgo de que un calificador lo considere (erróneamente) incorrecto.

Respuestas (6)

¿Por qué cuando se prueban identidades trigonométricas, uno debe trabajar en ambos lados de manera independiente?

La razón principal podría ser simplemente pedagógica: es más complicado y más educativo trabajar con los dos lados de forma independiente.
Otra razón es que se debe tener cuidado al trabajar en ambos lados. Si llega a una declaración falsa, no hay problema (ha hecho una prueba por contradicción); pero si llega a una declaración verdadera, debe asegurarse de que todos los pasos sean reversibles . Esto es algo de lo que mucha gente no se da cuenta y/u olvida. En lugar de invitar al error...
Puede perder el control de la lógica de la situación. Incluso si no lo hace, y escribe un argumento perfectamente correcto, existe un grave riesgo de que un calificador lo considere (erróneamente) incorrecto.

americo tavares · Answer 1

¿Por qué no puedo manipular toda la ecuación?

Puede. El método analítico para probar una identidad consiste en partir de la identidad que se quiere probar, en el presente caso

\begin{matrix} (1) & \frac{pecado θ - {pecado}^{3} θ}{{porque}^{2} θ} = pecado θ, porque θ \neq 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\sin \theta -\sin ^{3}\theta }{\cos ^{2}\theta }=\sin \theta,\qquad \cos \theta \neq 0 \tag{1} \end{equation}$ y establecer una secuencia de identidades para que cada una sea consecuencia de la siguiente. por la identidad

(1)

$(1)$ para que sea cierto basta que se cumpla lo siguiente

\begin{matrix} (2) & pecado θ - {pecado}^{3} θ = pecado θ {porque}^{2} θ \end{matrix}

$\begin{equation} \sin \theta -\sin ^{3}\theta =\sin \theta \cos ^{2}\theta \tag{2} \end{equation}$ o este equivalente

\begin{matrix} (3) & pecado θ (1 - {pecado}^{2} θ) = pecado θ {porque}^{2} θ \end{matrix}

$\begin{equation} \sin \theta \left( 1-\sin ^{2}\theta \right) =\sin \theta \cos ^{2}\theta \tag{3} \end{equation}$ o por ultimo este ultimo

\begin{matrix} (4) & pecado θ {porque}^{2} θ = pecado θ {porque}^{2} θ \end{matrix}

$\begin{equation} \sin \theta \cos ^{2}\theta =\sin \theta \cos ^{2}\theta \tag{4} \end{equation}$

Desde $(4)$ es verdad también lo es $(1)$ .

El libro indicado a continuación ilustra este método con la siguiente identidad

\frac{1 + pecado a}{porque a} = \frac{porque a}{1 - pecado a} a \neq (2 k + 1) \frac{π}{2}

$\frac{1+\sin a}{\cos a}=\frac{\cos a}{1-\sin a}\qquad a\neq (2k+1)\frac{\pi }{2}$

Basta que se cumpla lo siguiente

(1 + pecado a) (1 - pecado a) = porque a porque a

$(1+\sin a)(1-\sin a)=\cos a\cos a$

o

1 - {pecado}^{2} a = {porque}^{2} a,

$1-\sin ^{2}a=\cos ^{2}a,$

lo cual es cierto si

1 = {porque}^{2} a + {pecado}^{2} a

$1=\cos ^{2}a+\sin ^{2}a$

es verdad. Dado que se demostró que esto es cierto, todas las identidades anteriores se mantienen, al igual que la primera identidad.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Referencia: J. Calado, Compêndio de Trigonometria , Empresa Literária Fluminense, Lisboa, pp. 90-91, 1967.

Al menos para mí, "... cada uno es consecuencia del siguiente". es difícil de leer correctamente; a primera vista, parecía $(1)\implies(2)$ , cuando en realidad dice $(2)\implies(1)$ —así que tuve que releer tu respuesta varias veces para convencerme de que la estaba leyendo mal y que lo que dijiste era correcto. La dificultad para comprender la dirección de la implicación (tanto simbólicamente como en las formas de tipo "A si B"/"A cuando B"/"A solo si B") es la razón por la que animaría a un estudiante a escribir $(4)\implies(3)\implies(2)\implies(1)$ , incluso si llegaron a su prueba trabajando de (1) a (2) a (3) a (4).
(Además, edité las imágenes de la página del libro para aclarar el fondo, oscurecer el texto y reducir el tamaño del archivo; no dude en volver si no le gustan mis imágenes editadas).
@Isaac: La oración "cada uno es consecuencia del siguiente " es una traducción directa de "... cada uma seja uma consequência da seguinte " en el 2do. párrafo. Como escribiste, la secuencia correcta de implicaciones es $(4)\Rightarrow (3)\Rightarrow (2)\Rightarrow (1)$ . Gracias.

isaac · Answer 2

Tienes un buen manejo de la situación. No es tanto que no puedas manipular la identidad potencial como una ecuación sino que, en general, la mayoría de la gente no debería manipular la identidad potencial como una ecuación. La parte clave es lo que dijo: use la manipulación para llegar a una declaración verdadera (ese es su trabajo inicial), luego trabaje hacia atrás para escribir su prueba: comenzando con una declaración verdadera y llegando a la identidad.

En su último ejemplo, dado que $\cos\theta$ está en el denominador, $\theta=\frac{\pi}{2}$ no estaría en el dominio de la identidad, por lo que está bien simplificar a $\sin\theta$ .

steve cox · Answer 3

steve cox

Demuestra la identidad trigonométrica "LHS = RHS" Dado: LHS Objetivo: RHS (o viceversa) La razón por la que no es válido trabajar en ambos lados al mismo tiempo (multiplicación cruzada, etc.) es que no se te da " LHS = RHS", por lo que no hay ecuación hasta que haya probado la identidad trigonométrica. ¿Es válido usar la ecuación "LHS = RHS" para probar la identidad trigonométrica "LHS = RHS"? Steve

Noé Stein

Para cualquier

L

$L$ y

R

$R$ , la ecuacion

L (θ) = R (θ)

$L(\theta) = R(\theta)$ es verdadero o falso para cada valor de

θ

$\theta$ . Su objetivo al probar la identidad es probar que el conjunto de soluciones es todo

θ \in R

$\theta\in\mathbb{R}$ . En este sentido, el problema es como cualquier problema de álgebra. Puede proceder a resolver la ecuación aplicando cualquier transformación que no agregue soluciones.

Noé Stein

También puedes aplicar transformaciones que a priori podrían añadir soluciones, siempre y cuando compruebes que en este caso no lo hacen. Por ejemplo, puedes multiplicar ambos lados por

\sin (θ)

$\sin(\theta)$ y trabajar en

L (θ) \sin (θ) = R (θ) \sin (θ)

$L(\theta)\sin(\theta) = R(\theta)\sin(\theta)$ siempre y cuando verifique por separado que

L (θ) = R (θ)

$L(\theta) = R(\theta)$ cuando sea

θ \in π Z

$\theta\in\pi\mathbb{Z}$ .

sayel ali · Answer 4

Estoy totalmente de acuerdo con Noah Stein. Solo quiero aclarar / agregar lo siguiente:

Supongamos que la identidad que está tratando de mostrar es $L(\theta)=R(\theta)$ y no está definido en $\theta\in\left\{k\pi\,:\,k\in\Bbb Z\right\}$ porque hay $\sin(\theta)$ en el denominador de $L(\theta)$ o $R(\theta)$ o ambos. Luego puedes manipularlo como una ecuación multiplicando ambos lados por $\sin(\theta)$ . Suponga que después de varias otras manipulaciones/transformaciones que no requirieron más multiplicación por una variable, llegó a $\cos(\theta)=\cos(\theta)$ . Luego se prueba la identidad para todos $\theta\ne k\pi$ cuál es el conjunto más grande posible en el que $L(\theta)$ y $R(\theta)$ están definidos. Por lo tanto, probó que es una identidad.

faisal hussain · Answer 5

De acuerdo con la definición, "la identidad es una relación que es verdadera para todos los valores de x", por lo que cuando manipulamos la identidad trigonométrica al igual que las ecuaciones trigonométricas, tratamos de encontrar los ángulos y terminamos en una relación verdadera como 0 = 0 independientemente del ángulo. significa que la relación es una identidad.

Revathy · Answer 6

Creo que se puede hacer. Estamos demostrando que LHS = RHS, ya que al asumirlo, llegas a una verdad Universal.

Del mismo modo, al suponer que no es cierto, llegamos a una contradicción, que se llama prueba por contradicción.

No puede probar "LHS = RHS" "asumiendo que sí". Además, el tema de la "verdad universal" no es realmente adecuado para este foro, sino más bien para uno sobre filosofía.

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Noé Stein

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sayel ali

faisal hussain

Revathy

bobson dugnutt

¿Es esta una forma permisible de probar/mostrar esta declaración?

Si 2−cos2θ=3sinθcosθ2−cos2⁡θ=3sin⁡θcos⁡θ2−\cos^2θ=3\sinθ\cosθ entonces sinθ≠cosθsin⁡θ≠cos⁡θ\sin \theta \neq\cos\theta entonces tanθtan⁡ θ\tan\theta es…

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