¿Por qué/cómo los coeficientes asociados con los orbitales atómicos superpuestos para formar un orbital híbrido determinan su orientación espacial?

Empiezas con:

$$\psi_{sp^3}= c_1\psi_{2s}+ c_2\psi_{2p_{x}} + c_3\psi_{2p_y}+ c_4\psi_{2p_{z}} \tag{1}$$

Desde$\psi_{sp^3}$se normaliza sabemos que:

$$\langle \psi_{sp^3} | \psi_{sp^3} \rangle = 1$$

y si usamos la ecuación (1) para sustituir$\psi_{sp^3}$obtenemos:

$$\langle c_1\psi_{2s}+ c_2\psi_{2p_{x}} + c_3\psi_{2p_y}+ c_4\psi_{2p_{z}} | c_1\psi_{2s}+ c_2\psi_{2p_{x}} + c_3\psi_{2p_y}+ c_4\psi_{2p_{z}} \rangle = 1$$

y expandiendo da:

$$\langle c_1\psi_{2s} | c_1\psi_{2s} \rangle + \langle c_1\psi_{2s} | c_2\psi_{2p_{x}} \rangle \, + ... + \, \langle c_4\psi_{2p_{z}} | c_3\psi_{2p_{y}} \rangle + \langle c_4\psi_{2p_{z}} | c_4\psi_{2p_{z}} \rangle = 1$$

Me salté los doce términos intermedios porque, bueno, la vida es demasiado corta y debería ser obvio cuáles son. Podemos tomar las constantes$c$fuera de los paréntesis para obtener:

$$c_1^2\langle \psi_{2s}|\psi_{2s} \rangle + c_1c_2\langle\psi_{2s}|\psi_{2p_{x}} \rangle \, + ... + \, c_4c_3\langle\psi_{2p_{z}} | \psi_{2p_{y}} \rangle + c_4^2\langle \psi_{2p_{z}} | \psi_{2p_{z}} \rangle = 1$$

Pero el$2s$y$2p$Los orbitales son todos ortonormales, lo que significa que$\langle\psi_i|\psi_j\rangle = \delta^i_j$, por lo que nuestra ecuación se convierte en:

$$c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2 = 1$$

Que creo que es lo que estabas preguntando.

Respuesta al comentario:

Los coeficientes no rotan nada, son solo números. Lo que muestra el diagrama es que si tomas dos vectores:

entonces puedes obtener un vector$\psi$en cualquier dirección que quieras usando:

$$\psi = c_1\psi_1 + c_2 \psi_2$$

con la condición de normalización$c_1^2 + c_2^2 = 1$. Por ejemplo:

$$\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_2$$

está a 45º. Más generalmente:

$$\psi = \sin(\theta)\psi_1 + \cos(\theta)\psi_2$$

te da un vector en un ángulo$\theta$a la horizontal, y se normaliza automáticamente desde$\sin^2 + \cos^2 = 1$.

El diagrama solo muestra que esto se aplica a la$2p$orbitales Combinatorio$2p_x$y$2p_y$en diferentes proporciones da un orbital en diferentes ángulos.

Sinceramente, no veo por qué estás tan desconcertado por esto. Tenga en cuenta que, al final, está sumando estados que representan funciones en el espacio real, y cada una de estas funciones tiene su propia dependencia espacial:

^{(Fuente de imagen)}

Los diferentes colores representan diferentes signos: el azul es positivo, el rojo es negativo. Si tiene una función de onda mixta como, digamos,

$$\frac1{\sqrt{2}}\left(\psi_{2s}(\mathbf r)+\psi_{2p_z}(\mathbf r)\right)$$ entonces en $z>0$, dónde $\psi_{2p_z}(\mathbf r)>0$, la amplitud de probabilidad aumentará, mientras que en $z<0$tienes $\psi_{2p_z}(\mathbf r)<0$por lo que le resta valor $\psi_{2s}(\mathbf r)$y la amplitud de probabilidad disminuirá. El efecto general, entonces, es que el bulto de la función de onda se empuja hacia positivo $z$. (Del mismo modo, la función de onda ortogonal $\tfrac1{\sqrt{2}}\left(\psi_{2s}(\mathbf r)-\psi_{2p_z}(\mathbf r)\right)$es empujado hacia negativo $z$.

Para el caso más general de$sp^3$mezclando, con funciones de onda de la forma

$$\psi_{sp^3}(\mathbf r)= c_1\psi_{2s}(\mathbf r)+ c_2\psi_{2p_{x}}(\mathbf r) + c_3\psi_{2p_y}(\mathbf r)+ c_4\psi_{2p_{z}}(\mathbf r),$$ el $c_i$actúan como amplitudes de probabilidad (en una vista abstracta del espacio de Hilbert), pero también actúan como coeficientes de mezcla entre las diferentes funciones de onda. agrega algunos $\psi_{2p_{z}}$y empujas el orbital hacia arriba; restar algunos $\psi_{2p_{z}}$y agrega algunos $\psi_{2p_{x}}$y lo empujas hacia abajo y hacia adelante; etcétera.