Por qué CabcdCabcdCabcdCabcdC_{abcd}C^{abcd} en la métrica de Sitter-Schwarzschild no depende de ΛΛ\Lambda

Con la métrica de De Sitter-Schwarzschild :

d s 2 = − ( 1 − 2 METRO r − Λ r 2 3 ) d t 2 + ( 1 − 2 METRO r − Λ r 2 3 ) − 1 d r 2 + r 2 d θ + r 2 pecado 2 ⁡ θ d ϕ

Puedo calcular el tensor de curvatura de Riemann, el tensor de Ricci, el escalar de Ricci, el tensor de Weyl explícitamente y encontrar que todas estas cantidades dependen de Λ . Por ejemplo,

R = 4 Λ , C 0202 = − METRO ( 6 METRO − 3 r + r 3 Λ ) 3 r 2 .

Mientras que la conjetura de la curvatura de Weyl (cf. Gron & Hervik 2002 ),

C a b C d C a b C d = 48 METRO 2 r 6 ,
no depende de Λ , por lo tanto, esta cantidad es la misma que la contraparte del espacio-tiempo de Schwarzschild.

¿Hay algunas razones intuitivas o físicas que engendran este resultado?

Bueno, ¿calculaste esa contracción al azar o tenías un propósito físico en mente?
Sería interesante tomar − F ( r ) d t 2 + 1 F ( r ) d r 2 + r 2 d θ + r 2 pecado 2 ⁡ θ d θ d ϕ , calcule el escalar, configúrelo en C r norte y resuelve la EDO. ¿Desafío aceptado?
@ACuriousMind arxiv.org/abs/gr-qc/0205026v1 Conjetura de la curvatura de Weyl
@NikolajK Esta cantidad puede tener algún interés físico, vea la hipótesis de la curvatura de Weyl de Penrose
@user34669: No estoy seguro de si esto pretende ser una respuesta a lo que propongo, ¿verdad?

Respuestas (1)

Sí. La razón es la siguiente.

Para cualquier espacio-tiempo 4-D diagonal, como el que está considerando, la métrica de Sitter-Schwarzschild, el tensor de Riemann tiene 20 componentes independientes.

Para hacer Relatividad General se debe obtener el tensor de Ricci el cual se obtiene contrayendo el tensor de Riemann para obtener 10 componentes independientes:

R a b − 1 2 gramo a b R + Λ gramo a b = k T a b .

Como puede ver, el tensor de Ricci está "relacionado" con la constante cosmológica, en el sentido de que aparece junto a ella en las ecuaciones de Einstein.

Pero faltan los otros 10 componentes del tensor de Riemann, que no forman parte de las ecuaciones de Einstein, pero forman la base del tensor de Weyl. En otras palabras, el tensor de Weyl representa el campo gravitacional libre y no está acoplado a ninguna distribución de materia/constante cosmológica.

El tensor de Weyl es en sí mismo sin rastro, por lo que no contribuirá a R a b . es la parte de R a b C d que no está determinado por las ecuaciones de campo de Einstein. Por ejemplo, en un espacio-tiempo de Schwarzschild, R a b = 0 , pero las componentes distintas de cero de R a b C d debe corresponder a componentes distintos de cero de C a b C d .

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