¿Por qué aparece la fuerza de Coriolis al derivar las fuerzas sobre una partícula en coordenadas polares?

Question

¿Por qué aparece la fuerza de Coriolis al derivar las fuerzas sobre una partícula en coordenadas polares?

Física
efecto Coriolis
marcos de referencia
sistemas coordinados
mecanica-newtoniana

Andrés Pablo

Consideré una partícula en coordenadas polares, $(r,\theta)$ , con masa $m$ . Los vectores base estándar en coordenadas polares son:

\hat{r} = porque θ \hat{X} + pecado θ \hat{y}

$\mathbf{\hat{r}}=\cos{\theta}\mathbf{\hat{x}}+\sin{\theta}\mathbf{\hat{y}}$ Y:

\hat{θ} = \frac{\partial \hat{r}}{\partial θ} = - pecado θ \hat{X} + porque θ \hat{y}

$\boldsymbol{\hat{\theta}}=\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial\theta}=-\sin{\theta}\mathbf{\hat{x}}+\cos{\theta}\mathbf{\hat{y}}$ Diferenciando el vector

r

$\mathbf{r}$ a la partícula dos veces, encontramos que:

\ddot{r} = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) \hat{r} + (2 \dot{r} \dot{θ} + r \ddot{θ}) \hat{θ}

$\mathbf{\ddot{r}}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\mathbf{\hat{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{\hat{\theta}}$ De lo que se deduce que la componente radial de la fuerza sobre esta partícula es

F_{r} = m (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2})

$F_r=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)$ y la componente tangencial es

F_{θ} = m (2 \dot{r} \dot{θ} + r \ddot{θ})

$F_\theta=m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})$ .

Pude entender tres de los cuatro términos en este par de ecuaciones al considerar que la partícula experimenta un movimiento radial y circular (en cuyo caso $\dot{\theta}=0$ y $\dot{r}=0$ , respectivamente).

Incidentalmente, sin embargo, el $2m\dot{r}\dot{\theta}$ término es la fuerza de Coriolis. Pero, ¿no es esta fuerza ficticia y solo observable en un marco de referencia no inercial? ¿Estaba trabajando en un marco de referencia no inercial durante esta derivación? ¿Tiene sentido lo que estoy preguntando?

Creo que principalmente necesito una aclaración de cómo los marcos de referencia inerciales/no inerciales entran en juego en esta derivación.

Cineed Simson

Suponga que el radio del círculo es

r

$r$ que es constante. Entonces la componente tangencial de la aceleración es

a_{t} = r \frac{d ω}{d t}

$a_{t}=r\frac{d\omega}{dt}$ dónde

ω = \frac{d θ}{d t}

$\omega=\frac{d\theta}{dt}$ es la velocidad angular - y la componente radial de la aceleración es

a_{r} = ω^{2} r

$a_{r}=\omega^{2}r$ .

a_{r}

$a_{r}$ también se conoce como la aceleración centrípeta - es la fuerza ficticia. Sabes que estás en un marco no inercial cuando el origen de tu sistema de coordenadas es el eje de rotación de la partícula que estás rastreando. Un marco inercial es aquel que se mueve a velocidad constante y no acelera.

Cineed Simson

Y para que quede claro, la magnitud de

\hat{r} = 1

$\hat r=1$ , que es constante, por lo tanto

\dot{r} = \ddot{r} = 0

$\dot r=\ddot r=0$ , cuyos rendimientos

F_{r} = - m r {\dot{θ}}^{2}

$F_r=-mr\dot{\theta}^2$ y

F_{θ} = m r \ddot{θ}

$F_\theta=mr\ddot{\theta}$ - cuales son las respuestas correctas. No hay fuerza de Coriolis en 2 dimensiones, y tampoco hay producto vectorial vectorial en 2 dimensiones.

F_{r} = - m r {\dot{θ}}^{2}

$F_r=-mr\dot{\theta}^2$ es la aceleración centrípeta - una fuerza ficticia.

j murray

@CinaedSimson Esto debería ser una respuesta, no un comentario.

Andrés Pablo

@CinaedSimson, lo que estoy considerando no es necesariamente un movimiento circular. El vector de posición es

r = r \hat{r}

$\mathbf{r}=r\mathbf{\hat{r}}$ . La magnitud del vector base estándar nunca cambia, pero

\dot{r}

$\dot{r}$ puede ser distinto de cero porque el movimiento de la partícula es arbitrario y, por lo tanto, puede ser radial.

Respuestas (2)

¿Por qué aparece la fuerza de Coriolis al derivar las fuerzas sobre una partícula en coordenadas polares?

Suponga que el radio del círculo es $r$ que es constante. Entonces la componente tangencial de la aceleración es $a_{t}=r\frac{d\omega}{dt}$ dónde $\omega=\frac{d\theta}{dt}$ es la velocidad angular - y la componente radial de la aceleración es $a_{r}=\omega^{2}r$ . $a_{r}$ también se conoce como la aceleración centrípeta - es la fuerza ficticia. Sabes que estás en un marco no inercial cuando el origen de tu sistema de coordenadas es el eje de rotación de la partícula que estás rastreando. Un marco inercial es aquel que se mueve a velocidad constante y no acelera.
Y para que quede claro, la magnitud de $\hat r=1$ , que es constante, por lo tanto $\dot r=\ddot r=0$ , cuyos rendimientos $F_r=-mr\dot{\theta}^2$ y $F_\theta=mr\ddot{\theta}$ - cuales son las respuestas correctas. No hay fuerza de Coriolis en 2 dimensiones, y tampoco hay producto vectorial vectorial en 2 dimensiones. $F_r=-mr\dot{\theta}^2$ es la aceleración centrípeta - una fuerza ficticia.
@CinaedSimson Esto debería ser una respuesta, no un comentario.
@CinaedSimson, lo que estoy considerando no es necesariamente un movimiento circular. El vector de posición es $\mathbf{r}=r\mathbf{\hat{r}}$ . La magnitud del vector base estándar nunca cambia, pero $\dot{r}$ puede ser distinto de cero porque el movimiento de la partícula es arbitrario y, por lo tanto, puede ser radial.

RC Drost · Answer 1

Es una pregunta muy justa. La respuesta es que esa no es la fuerza de Coriolis, pero está relacionada.

Suponga que ahora examinara la misma partícula en coordenadas que giran alrededor del origen con velocidad angular $\omega$ , esto realizaría un cambio $\dot\theta\mapsto \dot\theta -\omega$ al salir $r, \dot r, \ddot\theta$ invariante. Como consecuencia encontraríamos que

{\ddot{r}}^{'} = \ddot{r} + 2 ω (r \dot{θ} \hat{r} - \dot{r} \hat{θ}) - r ω^{2} \hat{r} .

$\mathbf {\ddot r}' = \mathbf{\ddot r} + 2 \omega \left(r \dot\theta ~\hat r-\dot r ~\hat \theta\right) - r \omega^2~\hat r.$

El primero de estos términos es la fuerza de Coriolis real $-2m~\vec\omega\times\vec v$ . El término final es la fuerza centrífuga igualmente ficticia.

Esto tiene sentido, gracias! Entonces, si imaginamos $\dot{\theta}=0$ (en el marco inercial), y deje que un marco giratorio tenga velocidad angular $\omega$ , entonces el cambio se convierte en $0\mapsto -\omega$ y de ahí el término $2m\dot{r}\dot{\theta}$ es solo $2m\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}$ , la fuerza de Coriolis observada desde el marco giratorio, como ahora lo entiendo.

Juan Darby · Answer 2

En un marco de referencia inercial que utiliza coordenadas polares, los vectores unitarios radial y tangencial (magnitud 1) no tienen una dirección fija y cambian de posición a medida que cambia el ángulo polar. Esto conduce a un término en la aceleración tangencial que a veces se denomina "aceleración de Coriolis"; aparece porque los vectores unitarios no tienen una dirección constante. (Los vectores unitarios cartesianos no cambian de dirección).

Así como la fuerza de Coriolis está asociada con un marco de referencia giratorio no inercial, esta "aceleración de Coriolis" está asociada con vectores unitarios que giran con la posición incluso en un marco de referencia inercial.

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