¿Cómo derivar el ángulo de alabeo de un avión a partir de su ángulo de balanceo y ángulo de cabeceo?

De Young (2017) ( https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9781118534786 ) se afirma que podemos definir el ángulo de inclinación ($\Phi$) de una aeronave como el ángulo entre el eje Y del cuerpo y el plano horizontal. Luego establece la siguiente equivalencia:

$\sin(\Phi)=\sin(\phi)\cos(\theta)$

dónde$\theta$es el ángulo de cabeceo de la aeronave y$\phi$es su ángulo de balanceo. Quiero derivar esta equivalencia y este es mi intento hasta ahora que produce una expresión alternativa:

Defino un sistema de ejes global$E=(O,X_e,Y_e,Z_e)$dónde$O=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$es el origen del sistema, y$X_e=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$,$Y_e=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$y$Z_e=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$son vectores unitarios ortonormales que definen Norte, Este y 'abajo' respectivamente.

También defino un sistema de eje del cuerpo de un avión,$B=(O,X_b,Y_b,Z_b)$, cuya orientación y posición inicial es coincidente con$E$.

primero giro$B$acerca de$Y_b$eje un ángulo$\theta$, la rotación de tono, y luego giro este sistema de eje de cuerpo girado sobre su nuevo$Xb$eje un ángulo$\phi$, la rotación del rollo. Las matrices de rotación relevantes son:

$R_Y(\theta)$=

$$\begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{bmatrix}$$

$R_X(\phi)$=

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ 0 & \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{bmatrix}$$

que cuando se aplica en el orden correcto para especificar las rotaciones descritas en el texto anterior produce la matriz compuesta:

$R_Y(\theta)R_X(\phi)=R=$

$$\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\sin(\phi) & \sin(\theta)\cos(\phi) \\ 0 & \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\sin(\phi) & \cos(\theta)\cos(\phi) \end{bmatrix}$$

entonces tengo$B2=RB=R$que es el sistema de ejes del cuerpo después de las rotaciones.$Y_{B2}= \begin{bmatrix} \sin(\theta)\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \\ \cos(\theta)\sin(\phi) \end{bmatrix}$, el eje y de B2, y su proyección sobre el plano horizontal es$Y_{pB2}= \begin{bmatrix} \sin(\theta)\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \\ 0 \end{bmatrix}$. Entonces puedo decir que el coseno del ángulo entre ellos, el ángulo de inclinación$\Phi$, es el producto escalar normalizado de los dos vectores:

$$\begin{align} \cos(\Phi)=\frac{Y_{B2}\cdot Y_{pB2}}{|Y_{B2}||Y_{pB2}|} \end{align}$$

Haciendo el cálculo me quedo con:

$$\begin{align} \cos(\Phi)=\sin(\theta)\sin(\phi) + \cos(\phi) \end{align}$$

Mientras que quiero:

$$\begin{align} \sin(\Phi)=\sin(\phi)\cos(\theta) \end{align}$$

Cualquier consejo sobre dónde me he equivocado sería muy apreciado.