¿Por qué algunos números se representan de manera desproporcionada al calcular una suma de dígitos?

Primero, su secuencia de comandos realmente no "itera [e] a través de los números 1-1000, cada uno elevado a la potencia 1-100". Porque nunca reinicias el$x$variable entre ejecuciones del ciclo interno, en realidad estás calculando$(a+2)^{\lfloor a/98\rfloor+2}$para$0<a<998\cdot 98$.

Esto crea algunas diferencias menores con los buenos conteos que obtendría si estuviera en bucle.$x$y$y$independientemente de$2$a$999$y$2$a$99$. No importa, el patrón general es, en términos generales, el mismo.

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La suma iterada de dígitos de un entero positivo no es otra cosa que el resto al dividir el número original por$9$, excepto cuando el resto es$0$la suma de los digitos es$9$en cambio. Esta es la base para sacar nueves .

ahora cuando sea$x$en$x^y$era divisible por$3$y$y\ge 2$, entonces$x^y$es divisible por$3^2=9$, por lo que todos esos casos (alrededor de un tercio de todos) producen la suma de dígitos$9$. Por otro lado,$x^y$no puede ser divisible por$3$ a menos que $x$es divisible por$3$, entonces sumas de dígitos de$3$o$6$son imposibles

Cuando$x$no es divisible por$3$es coprimo para$9$, y por lo tanto el teorema de Euler dice que$x^y\equiv 1 \pmod 9$cuando sea$y$es múltiplo de$\varphi(9)=6$. Por supuesto, el resto también es$1$cuando$x\equiv 1 \pmod 9$no importa qué$y$es. Esto crea un claro sobrepeso de$1$entre las sumas.

Finalmente, un módulo cuadrado$9$es siempre uno de$\{0,1,4,7\}$-- y$x^y$es un cuadrado siempre que$y$incluso. Esto explica por qué ves$4$y$7$más a menudo que$2$,$5$, o$8$. Por otro lado, un módulo de cubo$9$es siempre uno de$\{0,1,8\}$, así que cuando$y\equiv 3\pmod 6$, un tercio de la$x$valores producen$8$, explicando por qué$8$es más popular que$2$y$5$.

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También podemos contar la popularidad de cada residuo directamente escribiendo una tabla:

$$\begin{array}{r|cccccc} y = & 6n+6 & 6n+7 & 6n+2 & 6n+3 & 6n+4& 6n+5 \\ \hline 0^y \bmod 9 = & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1^y \bmod 9 = & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2^y \bmod 9 = & 1 & 2 & 4 & 8 & 7 & 5 \\ 3^y \bmod 9 = & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4^y \bmod 9 = & 1 & 4 & 7 & 1 & 4 & 7 \\ 5^y \bmod 9 = & 1 & 5 & 7 & 8 & 4 & 2 \\ 6^y \bmod 9 = & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7^y \bmod 9 = & 1 & 7 & 4 & 1 & 7 & 4 \\ 8^y \bmod 9 = & 1 & 8 & 1 & 8 & 1 & 8 \end{array}$$

Contando las instancias de cada resultado en esta tabla, debe hacer coincidir bastante bien sus frecuencias experimentales. (Cada una de las celdas es golpeada por aproximadamente$\frac{98\cdot 998}{54}\approx 1811$de sus casos de prueba).