Comprobación de la constelación principal

$n,n+2,n+4$no pueden ser todos primos más de una vez porque lo que sea$n \bmod 3$uno de$n,n+2,n+4$será$\equiv 0 \bmod 3$.

Dado$0<b_1< \ldots < b_k$no hay obstrucción para$n,n+b_1,\ldots,n+b_k$siendo todos primos (más de una vez) iff para cada primo$p$hay algo$a_p \in 1\ldots p-1$tal que$a_p,a_p+b_1,\ldots,a_p+b_k$son todos coprimos con$p$.

Si$p > b_k+1$ahí está la solución$a_p=1$.

Por lo tanto, basta con mirar los números primos$p\le b_k+1$lo que significa que no hay obstrucción exactamente cuando para algunos$A$todo$A,A+b_1,\ldots,A+b_k$son coprimos con$(b_k+1)!$

La generalización natural de la conjetura de los primos gemelos es que cuando no hay obstrucción$n,n+b_1,\ldots,n+b_k$son todos primos infinitamente muchas veces.

La asintótica conjeturada (a partir del modelo aleatorio para los números primos) para el número de tales$n$es

y$r =e^{-\gamma} \approx 0.56$es la constante tal que$\prod_{p \le n^r} \frac{p-1}{p} \sim \frac{1}{\ln n}$(haciendo lo predicho$C(b)$constantes compatibles con el PNT)

El modelo aleatorio para los números primos simplemente dice que al elegir$n$al azar en$[1,x]$, para$p \le n^r$, entonces$n \bmod p$pueden considerarse uniformemente distribuidos y más importantes los eventos$n \bmod p$y$n \bmod q$puede considerarse independiente. Así, bajo este modelo, la probabilidad de que$n$es primo puede ser considerado como$\prod_{p \le n^r} \frac{p-1}{p}$que por el teorema de Mertens es$\sim \frac1{\ln n}$.

Considere esta k-tupla:$\mathcal{H}_k = (0,h_1,h_2,\cdots,h_{k-1})$, con$0 < h_1 < \cdots < h_{k-1}$números pares.

$H_k$es admisible si y si$p(p+h_1)\cdots(p+h_{k-1})$no tiene divisor fijo.

Por ejemplo$p(p+2)(p+4)$siempre es divisible por$3$entonces$(0, 2, 4)$no admisible

Considere la constante:

Dónde$w(\mathcal{H}_k, p)$es el número de residuos distintos$\pmod p$en$\mathcal{H}_k$.

La conjetura de la k-tupla predice que el número de números primos$(p,p+h_1,\cdots,p+h_{k-1})\in \mathbb{P}^k$con$p+h_{k-1} \leq x$es:

Y podemos probar si$\mathcal{H}_k$entonces no es admisible$\mathcal{G}_k = 0$.

prueba: si$q$es un numero primo siempre dividiendo$p(p+k_1)\cdots(p+k_n), p \in \mathbb{P}$, entonces$w(\mathcal{H}_k, q) = q$, entonces$\displaystyle\mathcal{G}_k = \left(\prod_{\text{p prime}}\frac{1-\frac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}}{(1-\frac1p)^{k}} \right) = 0$

Y puedes ver por$p > h_{k-1}$tenemos$w(\mathcal{H}_k, p) = k$, entonces verificamos solo los números primos menores que$h_{k-1}$para la admisibilidad.

Ejemplo 1 : $\mathcal{H}_k=(0,2,4)$, tenemos$w(\mathcal{H}_k, 3)=3$entonces$(0,2,4)$no admisible

Ejemplo2: $\mathcal{H}_k=(0,2,6)$, tenemos$w(\mathcal{H}_k, 3) = 2$y$w(\mathcal{H}_k, 5) = 3$entonces$(0,2,6)$es admisible.